Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Газале М. -> "ГНОМОН. От фараонов до фракталов" -> 72

ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.

Газале М. ГНОМОН. От фараонов до фракталов — Институт компьютерных исследований, 2002. — 272 c.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка): gonomotfaraonov2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 .. 77 >> Следующая


где (^7)m есть i-я цифра представления числа 7 по основанию ш, причем 0^7^ тп — 1.

В случае генератора (10.25) аргумент звена номер 7 равен

(10.27)

Например, угол наклона 55-го звена на рис. Х.21а равен

А поскольку 55 = (3 1 3.)4, получаем следующий результат:

-1.)
248 Глава X

К о---/

Рис. Х.21а. Первые три этапа построения кривой Коха.

Рис. Х.21Ь. Снежинка Коха.

остров. (В греческой мифологии химера — это огнедышащее чудовище женского пола с львиной головой, драконьим хвостом и козлиным туловищем.) Кроме того, кривая Коха относится к тем кривым, к которым ни в одной точке нельзя провести касательную. Отметим, что на каждом из трех этапов построения кривой общая форма фигуры, в сущности, не меняется и повторяет форму затравки, причем «кирпичи» для каждого последующего этапа построения целиком копируются с результата предыдущего этапа.
Фрактальные ломаные линии

249

d = 4, т = 9, Ф = (0 1032301 0)

Рис. Х.22а. Генератор кривой Пеано.

Рис. Х.22Ь. Прохождение квадрата кривой Пеано (квадрат с рис. Х.22а, увеличенный в три раза).

Заполняющая пространство кривая Пеано

Возможно ли установить однозначное соотношение между точками сплошного квадрата и точками линии? Иными словами, совпадает ли мощность множества точек квадрата с континуумом? Этот вопрос оставался открытым до тех пор, пока Джузеппе Пеано (1858-1932) и Давид Гильберт (1862-1943) не описали некую странную извилистую кривую, которая оказалась способна каким-то чудесным образом проходить по всем точкам заданного квадрата (Пеано в 1890 году7, а Гильберт — в 1891). Эта регулярная ломаная линия, генератор аргумента которой показан на рис. Х.22а (углы закруглены для наглядности), фрактальна. Кривая на рисунке вписана

7Peano, G. «Sur une courbe, qui remplit une aire plane», Mathematische Annalen. 36 (1890), pp. 157-160.
250

Глава X

в квадрат, который на последующих этапах (рис. Х.22Ь) используется в качестве «кирпича» для построения большего квадрата. Этот квадрат, в свою очередь, используется для построения следующего, еще большего, квадрата и т. д. При построении большего квадрата «кирпичи» ориентируются аналогично звеньям генератора. Предположим, что длина стороны квадрата

на рис. Х.22а равна 1/Зл/2 единиц. Тогда длина кривой составляет ровно единицу. Пометим кривую в некоторой произвольной точке на расстоянии, скажем, в 8/27 единицы от ее начала (расстояние измеряется по кривой).

Кривую на рис. Х.22Ь также пометим на расстоянии в 8/27 единицы от ее начала. Если теперь уменьшить размер рисунка до размера рис. Х.22а, то наши пометки практически совпадут. На последующих этапах построения все такие точки будут почти совпадать со своими предшественницами. Продолжив процесс до бесконечности, мы обнаружим, что последовательные точки сходятся к некоторому «аттрактору», однозначно соответствующему дроби 8/27. Таким образом, каждой дробной доле единицы соответствует одна и только одна точка внутри квадрата, т. е. перед нами искомое однозначное соответствие.

Коллекция регулярных фрактальных ломаных

На рис. Х.23-Х.30 представлена подборка фрактальных ломаных линий, являющихся, по большей части, вариантами кривой Коха.

о > d = 3, т = 5, Ф = (0 0 1 2 0)

Рис. Х.23. Пирамиды Гизы. Один-единственный треугольник Серпинского, размер которого увеличивается на каждом последующем этапе построения (d = 3, т = 5,

Ф1 = (0 1 2 0 0)).
Фрактальные ломаные линии

251

—>о

d = 6, m = 7, Ф = (0 1 5 3 5 1 0)

Рис. Х.24. Еще одна снежинка.

Регулярные ломаные смешанного типа и соответствующие мозаики

Описываемые до сих пор ломаные линии были получены путем возведения во все более высокие степени единичного векторного генератора. Ломаные, рассматриваемые ниже (рис. Х.31-Х.34), генерируются двумя различными векторами, первый из которых (Vi) называется затравкой, а второй (У2) — шаблоном. Оба вектора характеризуются одинаковым модулем d, и ломаная строится по операции V\ 0 V2 • Если обозначить соответствующие генераторы аргумента через Фь Ф2, то ломаная строится по

Ф1 (X) Ф

О)

(в отн. сложения по модулю d).

Иррегулярная фрактальная ломаная: пятиугольная «Эйфелева башня»

Все рассмотренные ранее ломаные были регулярными, т. е. состояли из элементарных звеньев одинаковой длины. Используя векторный генератор,
252

Глава X

Рис. Х.25. Пятиугольная вариация 1 на тему кривой Коха.

Рис. Х.26. Пятиугольная вариация 2 на тему кривой Коха.
Приложение: некоторые упрощающие обозначения

253

d = 4, т = 5, Ф = (0 1 0 3 0)

Рис. Х.27. Квадратура кривой Коха.

изображенный на рис. Х.35, вверху, можно построить иррегулярную фрактальную ломаную, которая весьма сильно напоминает пифагорову лютню8 и которую мы называем пятиугольной «Эйфелевой башней». Башня строится в горизонтальном положении, а затем устанавливается вертикально (рис. Х.35).
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 .. 77 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed