ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
то
S^n) = (012 ... (то - 2) 0 1 2 (то - 2) 0 1 2 ...)
(в отн. сложения по модулю (т — 1)).
Иными словами, S^ = 7 (mod (га — 1)) при любом п. Это объясняется следующим образом:
71—1
^7И) = YI (mod (то - 1)),
2 = 0
->( \ П~1
а поскольку то S\> = ]Г (5])т (mod (то - 1)).
Фрактальные ломаные линии
245
Из главы IX нам известно, что сумма по модулю (га — 1) цифр представления какого-либо целого числа по основанию га равна остатку по модулю (га — 1) этого целого числа. Следовательно, Sj г) = 7 (mod (га — 1)) при любом п.
Вполне допустимы и другие операции: например, та, что задается нижеследующей таблицей, отражающей, помимо прочего, коммутативный характер операции и наличие нейтрального элемента, равного единице. В самом деле, для любого элемента а справедливо равенство а01 = 10а = а:
0 0 1 2
0 1 0 2
1 0 1 2
2 2 2 0
Например,
^ = (12°)> \ ( ал
->/0\ , ч > (в отн. операции 0 .
у(2) = (1 2020202 1)J V F '
Разумеется, выбираемая для такого рассмотрения операция вовсе не обязана быть коммутативной. Вспомним, что и само кронекерово произведение коммутативным не является.
Фрактальные ломаные линии
Представим себе старинную мерную цепь, состоящую из га соединенных шарнирами прямолинейных звеньев единичной длины. Когда такая цепь растянута на всю длину, ее звенья можно уподобить маленьким стрелам, направленным в одну сторону. Представим также, что на земле начерчен отрезок прямой, разделенный на I частей, каждая из которых равна по длине звену цепи (см. рис. Х.20а, где I = 3, а га = 4). Возьмем два колышка и вобьем их в землю в концевых точках нашего отрезка. Прямолинейный интервал, заключенный между колышками, называется инициатором, а соответствующий участок цепи — генератором, или затравкой. Геометрическую форму, подобную форме генератора, все звенья которого имеют одинаковую длину, будем называть регулярной ломаной. В противном случае будем считать ломаную иррегулярной. Количество га звеньев в генераторе называется основанием.
Обратимся к рис. Х.20Ь и определим элементарные векторы для случаев d = 3, 4, 5, 6, ... (буквой j обозначена мнимая единица л/—1). Каждому значению d, называемому модулем, соответствуют d векторов е°, е^, е2(^, ..., Очевидно, что ed(^ = е° = 1, = е^, ... и, в общем
случае, eq^ = e^q mod ^.
246
Глава X
Рис. Х.20а. Инициатор и генератор.
генератор
инициатор
d = 3
d = 4
d = 5
d = 6
Рис. X.20b. Элементарные векторы.
Кривая Коха
Блох больших кусают блошки,
Блошек тех — малютки-крошки,
Нет конца тем паразитам,
Как говорят, ad infinitum.
(Джонатан Свифт)
Генератор, изображенный на рис. Х.20а, можно, таким образом, представить в виде вектора
• 7Г
V = (е°, еф, е5ф, е°), где d = 6, то = 4, ф = j
(10.24а)
или вектора
(е°, —е2ф, -е*, е°),
где d = 3, т = 4, ф = j
2тг
(10.24 Ъ)
Принимая во внимание только коэффициенты при ф в последовательности (10.24а), можно записать
Ф = (0 1 5 0),
Ф2 = (0 15012015045015 0) (в отн. сложения по модулю 6),
(10.25)
Фрактальные ломаные линии
247
( 71) ( 71)
при этом любое звено Ф\ , соответствующее элементу , образует с
горизонтальной осью угол (тг/3) радиан (углы измеряются в направлении против часовой стрелки). Этот угол мы будем называть аргументом звена, а вектор Ф — генератором аргумента. В общем случае,
Ломаная линия, первые три этапа построения которой представлены на рис. Х.21а, известна как кривая Коха. На рис. же Х.21Ь изображена снежинка Коха, которая строится следующим образом: на первом этапе каждая из сторон равностороннего треугольника заменяется на затравку Коха, на каждом последующем этапе этой же затравкой заменяются все обнаруженные прямолинейные отрезки, причем процесс продолжается до бесконечности. С каждой новой итерацией периметр кривой Коха умножается на 4/3. Таким образом, после бесконечного числа итераций получаем бесконечно длинный
периметр и парадоксальную ситуацию, в которой конечная площадь ограничена кривой бесконечной длины! До недавнего времени этот парадокс приводил математиков в полное замешательство, вследствие чего кривую Коха характеризовали не иначе, как «чудовищную» и «патологическую», а Бенуа Мандельброт даже придумал для нее название — химерический
п—1
mod d)
(10.26)
