ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 1 1 1 1
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1
2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2
0 2 1 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 1 2 0 2
2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2
0 2 1 1 2 0 2 1 1 2 0 2 1 1 2 0 2 1 1 2 0 2
2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Рис. Х.14а. Матрицы Н (левый верхний угол) и Н^2\
Фрактальные решетки
231
Рис. Х.14Ь. Модифицированный ковер Серпинского; темно-серые квадраты = 1, светло-серые = 2, а белые = 0.
начало 0 и приближается бесконечно близко к отметке 1, однако не достигает ее. Затем удаляется его средняя треть, включающая в себя отметку 1/3 и приближающаяся бесконечно близко к отметке 2/3, но не достигающая ее. Результат удаления снабжен на рисунке пометкой «этап 1». На каждом последующем этапе удаляется средняя треть из каждого оставшегося отрезка, причем удаляемая часть включает в себя свою начальную точку, но исключает концевую. На этапе п количество пустот достигает 2п — 1 и столько же остается нетронутых концевых точек: точка 2/3 на первом этапе, точки 2/3, 2/9 и 8/9 на втором этапе, 2/3, 2/9, 8/9, 2/27, 8/27, 20/27 и 26/27 — на третьем и т. д. Таким образом, получается, что отрезок постепенно теряет свои точки, однако при этом появляется все больше концевых точек.
При продолжении процесса в бесконечность мы получаем бесконечное количество концевых точек, разделенных бесконечным количеством пустот,
этап О
этап 1 этап 2 этап 3 этап 4
этап 1 этап 2 этап 3 этап 4
ШЕЛ
ш:т..гтжжтп \ 1111 ¦ ¦ 11 ¦ ¦
¦ ¦ i J ¦ Ж..1 ш 11 и ¦ ¦ 11 ¦ ¦ 1111 j mu urn I 1 11 in it 11 ¦ ¦ м ¦ ¦ I 111 г ч 1 тшжттжш
Рис. X.15c. Канторова пыль фрактальна.
7 • 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
№)з: 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2
0 0 0 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 2
№)з: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
* * * * * * * *
Рис. X.15d. Числа 7, не содержащие единиц в своих представлениях по основанию 3.
Фрактальные решетки 233
234
Глава X
каждая из которых содержит бесконечно много точек. Более странно, однако, то, что оставшаяся пыль имеет ту же мощность, что и континуум; она не является счетной. Для доказательства этого утверждения воспользуемся троичной, или триадической, позиционной системой счисления. На рис. Х.15Ь показано, как можно построить троичный измерительный стержень для измерения расстояний, заключенных в интервале от нуля до единицы, в приращениях вида 1/Зп, где п — количество этапов построения. Белый цвет соответствует нулю, серый — единице, а черный — двум. С каждым этапом к мантиссе числа добавляется справа новый разряд. На первом этапе можно видеть лишь, что координата А равна нулю или больше него, но меньше 1/3, а координата В равна или больше (0,1.)з = 1/3, но меньше 2/3. Четвертый этап дает следующие результаты: (0,0121.)з А < (0,0122.)з и (0,1012.)з ^ В < (0,1020.)з. Знаки ^ и < указывают на то, что каждый интервал включает в себя свою начальную точку, но исключает концевую. Применив наш измерительный стержень к канторовой фигуре, мы убедимся, что «пыль» не содержит в себе ни одной точки, в мантиссе координаты которой присутствовала бы цифра 1. Все имеющиеся в наличии мантиссы состоят исключительно из нулей и двоек, причем в любой возможной конфигурации бесконечной длины. Если заменить в них цифру 2 цифрой 1 и рассмотреть полученные конфигурации как мантиссы по основанию 2, то мы обнаружим, что среди них представлены всевозможные числа интервала [0, 1], иными словами, перед нами континуум. В оставшейся после всех удалений пыли столько же точек, сколько было в исходном отрезке!
Рассмотрим следующий вектор и его последующие степени:
V=[l 0 1],
V(2) = [1 0 1 I 0 0 0 I 1 0 1],
У(3) = [1 01000101 1000000000 I 10100010 1].
На рис. Х.15с представлена геометрическая транскрипция этих векторов. Процесс построения порождает канторову пыль и подчеркивает ее фрактальную природу. Кроме того, такой процесс эквивалентен процессу, проиллюстрированному рисунком Х.15а, но протекает в обратном направлении (вместо удаления существующих точек на каждом этапе добавляются новые). На рис. X.15d показан аналогичный процесс, заключающийся в написании чисел от 0 до Зп - 1 и удалении тех, что содержат в своих представлениях единицу.
Последовательность Туэ- Морса и замощение плоскости
В 1906 году норвежский математик Аксель Туэ представил на суд общественности последовательность, которая была впоследствии названа
Фрактальные решетки
235
Т = [12]
f(2) (mod 3) = [1 2*2 1]
f(3) (mod 3) = [1221*2 1 12]
