ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
матрицы Р, содержащий q строк и q столбцов, а через Pq ' — эту же матрицу в п-й степени, то рисунки имеют следующий смысл:
Рис. X.8b: = Р|2^ = Р^ (mod 2),
Рис. Х.8с: Pg1^ = Pg2^ (mod 3),
Рис. X.8d — фрагмент матрицы Р^ (mod 5),
Рис. Х.8е — фрагмент матрицы Р^ (mod 7).
То есть теорему Люка можно переформулировать в терминах кронекеровых произведений следующим образом:
Р^) = Рр? (mod р), где ab = cd, а, Ъ, с, d = 0, 1, 2, ... (10.22с)
и, в частности,
Р^п) = РрП (mod р), п = 0, 1, 2, ... (10.22с?)
226
Глава X
Рис. Х.9. Треугольник Паскаля по модулю 2.
Рис. Х.10. Геометрическое построение салфетки Серпинского посредством последовательного разделения треугольника.
Салфетка и ковер Серпинского
Фигура, изображенная на рис. Х.9, получена из матрицы с рис. Х.8Ь путем замещения цифр треугольниками: единиц — серыми, а нулей — белыми. Затем большой треугольник слегка деформировали, как показано на рисунке, с тем, чтобы он стал симметричен относительно вертикальной оси. Результирующая фигура известна под названием салфетка Серпинского. Такую салфетку можно получить и другим способом (см. рис. Х.10): последовательным вырезанием из исходного сплошного треугольника все более мелких в соответствии с определенными правилами. На рис. Х.11 представлена геометрическая транспозиция матрицы (Р27 mod 3).
Фрактальные решетки
227
Рис. Х.11. Вариант салфетки Серпинского: Р27 (mod 3), черные треугольники = 1, серые = 2, белые = 0.
"1 1 1 1 1 1 1 1 1"
1 0 1 1 0 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
Г1 1 Г 1 1 1 0 0 0 1 1 1
1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 0 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
матрица S матрица 5(2)
Рис. Х.12а. Матрица для ковра Серпинского.
Рис. Х.12Ь демонстрирует еще одну интересную фигуру, придуманную Серпинским. Ее обычно получают путем последовательного вырезания все
228
Глава X
Рис. Х.12Ь. Ковер Серпинского.
уменьшающихся квадратов из исходного большого квадрата. Можно построить такую фигуру и с помощью процедуры кронекерова умножения, начав с матрицы 5, показанной на рис. Х.12а. Ковер Серпинского (так называется эта фигура) допускает бесконечные вариации и модификации, одну из которых можно видеть на рис. Х.13а и Х.13Ь. Еще одна модификация представлена на рис. Х.14а и Х.14Ь.
Канторова пыль
Нельзя допустить возможности непрерывного наблюдения. Наблюдение следует рассматривать как дискретную, разрывную совокупность событий. Между этими событиями существуют пустоты, заполнить которые мы не можем. ... Иногда события выстраиваются в цепочки, создавая иллюзию перманентного процесса, — однако лишь при особых условиях и каждый раз лишь на чрезвычайно краткий промежуток времени.
(Эрвин Шредингер)6
Неизмеримо огромный вклад в такую концептуально-сложную отрасль математики (да — по большому счету — и всего человеческого знания в це-
6Цит. по Bell, The World of Mathematics, p. 1057.
Фрактальные решетки
229
_1 1 Г
1 2 1
1 1 1
матрица G
"1 1 1 1 1 1 1 1 1"
1 2 1 1 2 1 1 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 2 2 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 1 1 2 2 2 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 2 1 1 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
матрица G(mod 3)
Рис. Х.13а. Матрица для модифицированного ковра Серпинского.
Рис. Х.13Ь. Модифицированный ковер Серпинского.
лом), как исследование бесконечности, внес Георг Кантор. Фигура, введенная Кантором для иллюстрации парадоксов бесконечного и известная под названием канторова пыль, строится следующим образом. Начинается построение с отрезка прямой, показанного на рис. Х.15а с пометкой «этап О». Длина этого отрезка принимается равной единице. Он включает в себя свое
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1"
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Глава X
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2
0 2 1 1 2 0 2 1 1 2 0 2 1 1 2 0 2 1 1 2 0 2
2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1
2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2
0 2 1 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 1 2 0 2
2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1
1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 1 1 1 1
2 2 1 2 1 1 1 2 0 0 0 0 0 2 1 1 1 2 1 2 2 2
0 2 1 2 1 0 1 2 0 0 0 0 0 2 1 0 1 2 1 2 0 2
2 2 1 2 1 1 1 2 0 0 0 0 0 2 1 1 1 2 1 2 2 2
