ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
Векторы
Вектор — это одномерная матрица, как показано в нижеследующих примерах:
Примеры.
1) [1 3 2 5] (8) [3 4 2] = [3 9 6 15 | 4 12 8 20 | 2 6 4 10]
2) [3 4 2] 0 [1 3 2 5] = [3 4 2 | 9 12 6 | 6 8 4 | 15 20 10]
Фрактальные решетки
219
3) Нижняя строка матрицы на рис. Х.5Ь:
[13 9] (8) [-2 1] = [-2 - 6 - 18 | 1 3 9]
4) Нижняя строка матрицы на рис. Х.5с:
[-2 1] 0 [1 3 9] = [-2 1 | - 6 3 | - 18 9]
5)
V = [2 1 3],
У"(2) = [4 2 6 | 2 1 3 | 6 3 9],
V(S) = [8 4 12 4 2 6 12 6 18 |426213639| 12 6 18 6 3 9 18 9 27].
В двумерном пространстве вектор можно рассматривать как матрицу, состоящую либо из одной строки, либо из одного столбца, и в этом случае возможна, например, следующая ситуация:
" 1" " 1 " " 3 4 2 "
3 3 9 12 6
2 <8> [3 4 2] = [3 4 2] 0 2 --- 6 8 4
5 R R 5 15 20 10
М М
Здесь т! = 1 (т. е. = 0) и г = 1 (т. е. р = 0). Значит, для любой пары (7, 7'), где 0^7^ш — 1, 0^7'^ rf — 1, справедливы равенства
(Af ® R)ц-\-тр, р' — (М ® R)ii,p’ — 0 X _Ro, р' 1
(R ® М)р'+г'ц' — (-^ ® АТ)д?/9/ — _Ro, р' х о? следовательно,
(М®Я) = (R®M).
Таким образом, кронекерово произведение двух векторов коммутативно, если они принадлежат разным измерениям (а также тогда, когда один из векторов есть единичная решетка, что является частным случаем описанной конфигурации).
Фрактальные решетки
Мы говорим, что матрица М^ порядка п > 1 гномонна, или фрак-талъна, если ее начальный элемент Мо, о равен единице. Позже мы обобщим понятие кронекерова произведения на пространства более высоких размерностей, а также на иные, нежели арифметическое умножение, операторы.
220
Глава X
1 0 1
2 2 0
3 1 0
М
" 1 0 11 0 0 0 1 0 1
2 2 о; 0 0 0 2 2 0
3 1 о; 0 0 0 з 1 0
2 0 2 ! 2 0 2 0 0 0
4 4 о; 4 4 0 0 0 0
6 2 о; 6 2 0 0 0 0
3 0 з: 1 0 1 0 0 0
6 6 о; 2 2 0 0 0 0
_ 9 3 о: 3 1 0 0 0 0
М
(2)
Рис. Х.6. Фрактальная матрица М^2\
Пример. Эпитет фрактальная применим к матрице М^2\ построенной на рис. Х.6, в силу демонстрируемого этой матрицей свойства самоподобия: матрица М в точности повторяется в левом верхнем углу матрицы М(2\ Обобщая, можно сказать, что в данном случае матрица повторяется в левом верхнем углу матрицы при любом п. Это само-
подобие хорошо заметно на рис. Х.7. Аналогично, фрактальным называется
вектор Vй порядка п, если его начальный элемент имеет вид Vo = 1. Пример. Дано:
V =[12 3],
У(2) = [1 2 3 | 2 4 6 | 3 6 9],
У(3) = [1 23246369(24648 12 6 12 18 | 3 6 9 6 12 18 9 18 27].
Из определения гномонной матрицы Mtnl, где п > 1, следует, что
= мд.м' при мо,о = 1- (10.18)
Таким образом, пишем
71—1
= (10Л9)
п г 7 г
г=0
Отсюда можно вывести следующее определение фрактальной, или гномонной, матрицы: матрица F = [^7,у ] фрактальна, или гномонна, тогда и только тогда, когда существует пара таких целых чисел ш, га/, что для каждого
Фрактальные решетки
221
I—|
м
**•
***я
N.
м Щ\М МоЛМ Мо,зМ
% MUM М\^М мим
• Ч
* *
• *
щщ ¦*
Чч *
*
•*
**
Mi^qM ч ч "Щ,ъМ
*. ** *
м1лм ч *
ч *
ч •
ч ч
М2дМ ч
\
Рис. Х.7. Самоподобие фрактальной матрицы, элемента -F7j7' справедливо равенство
Fsy^/ 11 F^j , z 0, 1,2,...,
i
где
(10.20a)
7 = (..., 5],..., q, 5J, 5i)m, i = (..., <57,... ,q, <57 ,s$ .ym
(10.20 b)
Отсутствие верхнего предела над символом многократного произведения указывает на то, что диапазон произведения охватывает все значащие цифры чисел 7 и 7'.
Модель роста матрицы при увеличении ее порядка напоминает о некоторых формах растительной и животной жизни, и просто невозможно удержаться и не процитировать еще раз д’Арси Томпсона: «Однако рог или,
222
Глава X
скажем, раковина улитки имеют одно любопытное отличие: в каждый момент времени структура этих образований оказывается, так сказать, отчасти стара, а отчасти нова. Структура эта обусловлена последовательным и непрерывным процессом наращивания нового вещества, причем результат каждой последующей стадии роста, начиная с исходной, становится неотъемлемой и неизменной частью растущего целого... Слоновьи бивни, зубы бобра, кошачьи когти, ... — все они состоят из вещества, выделенного и отложенного живым организмом, и во всех них однажды сформировавшиеся части остаются живыми, но не способными к изменениям.»
