ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
(-A/f 0) Л! 0) гу/ --- (--у/ X R'z'i е'у/ X S г.-у (-'У'
’ ®1 ?^1 ^2 ’ 2
(10.11)
Обобщая вышеизложенные рассуждения на любое количество матриц вида
М( о) —
М,
(0)/хо,Мо
, М(1)
^(2)M2,Mi
где
0 < /i0 < ш0 - 1, 0 < /ii < mi - 1, 0 < /i2 < ш2 — 1,
0 ^ До < ш'0 — 1, 0 ^ /4 < га^ — 1, 0 ^ fi'2 < гп'2 — 1,
запишем
(0)6%,6%' Х ^(1)57,57' Х Х
где
7 — (. . . , 5 ^1 ? ^0 m2, mi, m0.)?
111
Т (• • • ? ^2 ’ ^1 5 ^0 7712, , Шц.) '
(10.12а)
(10.126)
Введем для обозначения многократного кронекерова произведения сим-
71—1
вол (g); тогда
2 = 0
71—1
71—1
(10.13)
G — (^) М(г) С7?7/ — .
2=0 2 = 0
Напомним еще раз, что 5^ — это г-я цифра числа 7 по основа-
/
нию (mn_i, ..., Шг, ..., Ш2, mi, то.), а — ^-я цифра числа 7' по основанию (ш^_1? . . . , ш', . . . , Ш2, Ш]_, Шд.).
216
Глава X
Порядок матрицы
Запишем в качестве определения: = М, М^ = М® М, =
= М 0 М 0 М ит. д. Иными словами, каждый последующий шаблон тождествен первоначальной затравке. В силу ассоциативности кронекерова произведения справедливо следующее утверждение:
м(3) = М®М®М = (М®М)®М = М®(М®М) =
= м(2) ®м = м®м(2).
Это утверждение можно легко обобщить в виде
= M{V ® = М{а+Ь\ а, 6 = 0, 1, 2, ... (10.14)
и, в частности,
М(п+1) = м(п) ® М = М ® М{п\ п = 0,1,2,... (10.15)
Положим М= U = [1], что согласуется с равенством (10.14), и будем называть матрицу U единичной.
С учетом вышеизложенных соображений, равенство (10.13) принимает
вид
п— 1
Mia' = П п = 8451,2,..., (10.16)
2 = 0
где
<57 = WU V' = (юл?)
Матрицу Мбудем называть матрицей М порядка п в отношении кронекерова умножения. На рис. Х.4 даны примеры матриц первого и второго порядка.
Коммутативность кронекерова произведения
Для рассмотрения свойства коммутативности в применении к кроне-керову произведению обратите внимание на рис. Х.5а-Х.5с, где даны матрицы М и R и их произведения G = М 0 R и Н = R® М. Читатель без труда поймет, почему элементы обеих матриц произведений тождественны, хотя и иначе расположены. Для этих матриц т = 3, г = 3, т! = 3, г' = = 2, поэтому для всех значений /i, //, р, р' в пределах соответствующих диапазонов имеем
= Нх Rp,p' •
Кронекерово произведение
М
0 1
" 2 0"
1 3
_-1 1 _
Af
Г
т
<5f а
г
/ -> О 1 2 3
5[ ^ О
^Г->о
0 0 0 4 0 0
1 0 1 2 6 0
2 ’ 0 ’ 2 -2 2 0
3 1 0 2 0 6
4 1 1 1 3 3
5 1 2 -1 1®
6 2 0 -2 0 2
7 2 1 -1 -3 1
8 2 2 1 -1 -1
0 1 1
1 0 1
м
(2)
9
3
О
3
Рис. Х.4. Матрицы первого и второго порядка.
0 1 2 а 0 1
Мо Ро
0 Г1 0 °1 0 Г 1 0
1 1 2 4 1 2 3
2 1 3 9 2 -2 1
Рис. Х.5а. Матрицы М и R.
у' 0 1 2 3 4 5
А 0 0 0 1 1 1
Mi 0 1 2 0 1 2
7 Ро Мо
0 0 0 Г 1 0 0 0 0 0 "
1 0 1 1 2 4 0 0 0
2 0 2 1 3 9 0 0 0
3 1 0 2 0 0 3 0 0
4 1 1 2 4 8 3 6 12
5 2 2 2 6 4 3 9 27
6 2 0 -2 0 0 1 0 0
7 2 1 -2 -4 -8 1 2 4
8 2 2 _-2 -6 -18 1 3 9 _
Рис. Х.5Ь. Произведение G = М 0 R.
218
Глава X
0 1 2 3 4 5
Mi 0 0 0 1 1 1
Pi 0 1 2 0 1 2
1 Мо Ро
0 0 0 1 0 : 0 0 : 0 0
1 0 1 2 3 : 0 0 : 0 0
2 0 2 -2 1 : 0 0 : 0 0
3 1 0 1 0 : 2 0 : 4 0
4 1 1 2 3 : 4 6 : 8 12
5 1 2 -2 1 1-4 2 ! -8 4
6 2 0 1 0 ! 3 0 ! 9 0
7 2 1 2 3 ! 6 9 I © 27
¦
8 2 2 -2 1 ¦-6 з ¦-18 9
Рис. Х.5с. Произведение Н = R® М.
Если выбрать (1 = 2, // = 2, р = 1, // = 2, то получим
??2+Зх1, 2+3x0 = #1+3x2, 0+2x2 = ^2,2 X ^1,0,
G^2 = -#7,4 = 9x2 = 18.
Элементы Gs, 2 и Н7? 4 в соответствующих матрицах на рисунках выделены кружками.
Таким образом, кронекерово произведение двух матриц в общем случае некоммутативно, так как расположение элементов получаемой в результате матрицы зависит от порядка, в котором производилось умножение. Мы, однако, знаем (10.14), что
М(а) ® М{Ъ) = М(ь) ® М(а) = М(а+Ь), а, Ъ = 0, 1, 2, ...
Данное равенство описывает единственный случай, где кронекерово произведение коммутативно. (Очевидно, что коммутативность кронекерова произведения любой матрицы на единичную матрицу является частным случаем вышеприведенного правила, где либо а, либо b равно нулю.)
