ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
7 1 2 -1 -4 3 12 2 8 4 16
8 1 3 -2 1 6 -3 4 -2 8 -4
9 1 4 -3 -2 9 6 6 4 12 8
10 2 0 1 0 0 0 0 0 2 0
11 2 1 2 -3 0 0 0 0 4 -6
12 2 2 1 4 0 0 0 0 2 8
13 2 3 2 -1 0 0 0 0 4 -2
14 2 4 3 2 0 0 0 0 6 4
Рис. Х.2Ь. Матрица G = М 0 R.
212
Глава X
Ch,5 ~ М2,1 ^ Rii ~ 4 x 2 — 8
Рис. X.2c. Структура матрицы G = M R.
На рис. X.2c показано, что для вычисления элемента матрицы G, расположенного в строке 7 и столбце 7', число 7 записывается по основанию (г, га.) и составляет, таким образом, (р, //.). Аналогично, число 7' записывается по основанию (гга/.) и имеет вид (//, //.). После того, как мы получили цифры fi, //, р, р', находим элементы и Rp,p' в соответствующих матрицах и получаем искомый элемент х
Макроскопический взгляд на матрицу G (рис. X.2d) позволяет увидеть, что она состоит из г х г' малых матриц, каждая из которых является результатом умножения матрицы М на элемент матрицы R, расположенный в точке матрицы R с теми же «координатами», какие описывают положение данной малой матрицы внутри матрицы G. По этой причине матрицу М мы будем называть матрицей -затравкой, а матрицу R — матрицей-шаблоном.
Ассоциативность кронекерова произведения
Пусть даны матрицы М = [M^/], R = [Rp,pf записать
((М0R^j0S^)^i1^mp'j^rnrcr^i1'^rri'pf^-^m'r'а' хRpp>) x. (10.5a)
, S = [Server']; можно
Кронекерово произведение
213
R
А/ x Rqj M x /*Ьз
. \ X \
•*x
V V Л 4
ЬЛ x ,0 4\ M x /?2 3
% *
• «
« *
•
«
*
+
•
*
%
*
•
*
4
•
Рис. X.2d. Макроскопический вид матрицы G = М 0 R.
Если бы мы начали с вычисления произведения R 0 S, то наша запись выглядела бы так:
(М 0 (R 0 ^))/i,+m(p+rcr),/i/+m/(p/+r/cr/) X (Rp,p' X (10.56)
Положим
7 = /i + mp -f rnrcr и 7' = (i + mr pr + m!r'a'\ (10.6)
тогда
((M ® R) ® S)7,y = (M <g) (Д <g> 5))7>y = x x (10.7)
214
Глава X
Кронекерово произведение ассоциативно; мы можем убрать скобки и записать
(М 0 R) 0 S = М 0 (R 0 S) = М 0 R 0 S. (10.8)
Таким образом, следующие два утверждения следуют одно из другого:
IX,IX’
Jp,p
’a,a' ?
где
и
7 = /i + mp + mrcr, 0 ^ 7 ^ rnrs — 1
7' = fi' + m'pf + т'г'сг', 0 < '
(см. рис. Х.За и Х.ЗЬ).
м' 0 1 2 Р 0 1
М Р
0 "10 0" 0 1 0"
1 1 2 4 1 2 3
2 _ 1 3 9_ 2 _-2 1_
М R
0 1 <T—0 [3 4]
5
(10.9a)
(10.96)
(10.9c)
Рис. Х.За. Матрицы M, i?, S'.
/ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1
Л 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1
Ml 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2
% Ро Мо
0 0 0 3 0 0 ! 0 0 0 4 0 0 0 0 0 “
0 0 1 3 6 12: 0 0 0 4 8 16: 0 0 0
0 0 2 3 CD 27: 0 0 0 4 © зб: 0 0 0
0 1 0 6 0 0 ! 9 0 0 8 0 0 12 0 0
0 1 1 6 12 24: 9 18 (36) 8 16 32 ! 12 24 48
0 1 2 6 18 54 ! 9 27 81 8 24 72 12 36 108
0 2 0 -6 0 0 3 0 0 -8 0 0 4 0 0
0 2 1 -6 -12 -24 ! 3 6 12 -8 -16 -32 ! 4 8 16
1 1
0 2 2 _-6 -18 -54: 3 9 27 -8 ?2^- -72: 4 12 36 _
Рис. Х.ЗЬ. Матрица G = М ® R ® S.
Кронекерово произведение
215
G2,i
?^4,5
Gs,7
Сз,9
М2Д X Л0,0 X So,О
Mi?2 X Ri^i X Sq,0 М2Д X Л2,0 X So,l Mq,o X Лхд X Sq,1
3 x 1 x 3 = 9
4 X 3 x 3 = 36 3 x (-2) x 4 =
1 x 3 x 4 = 12
24
Рис. Х.Зс. Элементы матрицы G.
Пример. Если 8] обозначает i-ю цифру числа 7 по основа-
/
нию (з, г, га.), а 5^ есть г-я цифра числа 7' по основанию (s', г', га/.),
т. е.
7 = (&2> ^1> <*0 •)(«,»•, т.), 7' = (<^2 , ^ •)(«', Г', m'.), (Ю.Ю)
то уравнение (10.9а) можно переписать в следующем виде:
