ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
(9.11)
Скобки здесь помещены с целью дать ключ к доказательству, которое можно осуществить индукцией по п. Поскольку имеет место однозначное соответствие, мы будем говорить, что конфигурация (5q, S2, • • • ? hi • • • ? ^n-i)
является представлением числа 7 по основанию п. Это представление мы будем записывать справа налево, в соответствии с арабской нумерацией. После крайнего справа числа, соответствующего i = 0, может стоять точка. Целое число Si будем называть i-м знаком числа 7, или знаком ранга i по основанию 6, и записывать (SJ)ь или просто SJ в тех случаях, когда основание очевидно из контекста. Таким образом, представление числа 7 имеет вид:
п—1
7 = (%_lt ...,S?, SI 51)ь = Y, (9-12)
2 = 0
Справившись по таблице IX.2, получим
14 = (210.)о = (202.)ь = (130.)с = (112.)d = (Ю2.)е = (Ю2.)9,
где
a = (4, 3,2), Ъ =(4, 2,3), с = (3, 4, 2), d= (3,2,4), е=(2, 4, 3), е = (2, 3, 4).
Если mi = m2 = ... = те*... = ш, то перед нами система счисления с однородным основанием т, для которой тг* = тг. То есть
п—1
7 = (51_г, Si 5l)m = J2 %т\ (9.13)
2 = 0
Во всех остальных случаях говорят о системах счисления со смешанным основанием. В таблице IX.2 показано соответствие между числом 7, представленным по основанию 10, и другими его представлениями: по основаниям 2, 3 и 5. Система счисления по основанию 10 — это хорошо известная
204
Глава IX
Таблица IX.2. Позиционная нумерация по основанию т для т = 2, 3, 5
десятичная по основанию 5 по основанию 3 по основанию 2
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 10
3 3 10 11
4 4 11 100
5 10 12 101
6 11 20 110
7 12 21 111
8 13 22 1000
9 14 100 1001
10 20 101 1010
11 21 102 1011
12 22 110 1100
13 23 111 1101
14 24 112 1110
15 30 120 1111
16 31 121 10000
17 32 122 10001
18 33 200 10010
19 34 201 10011
20 40 202 10100
21 41 210 10101
22 42 211 10110
23 43 212 10111
24 44 220 11000
нам индийско-арабская десятичная система, система же по основанию 2 — не менее известная двоичная. На протяжении своей истории человечество успело попользоваться огромным множеством систем счисления, самыми выдающимися из которых являются месопотамская шестидесятиричная и двадцатиричная индейцев майя. Буффон настойчиво предлагал ввести в употребление двенадцатеричную систему представления чисел, существенным достоинством которой, по его мнению, является делимость ее основания 12 на 2, 3, 4 и 6. Приверженцы двенадцатеричной системы дошли до того, что подготовили и опубликовали таблицы логарифмов в двенадцатеричном представлении. Немалые достоинства были обнаружены и у других систем счисления, не являющихся, правда, позиционными, — таких, например, как
Позиционные системы счисления со смешанным основанием
205
биномиальная система, система Фибоначчи и сбалансированная десятичная система Шеннона.
Кроме тех случаев, когда основание равно 10 или очевидно из контекста, мы будем записывать представления чисел в круглых скобках и добавлять символ, идентифицирующий основание — как для систем со смешанным, так и для систем с однородным основанием. Во избежание возможных противоречий, представления чисел, равно как и последовательности оснований, будут записываться справа налево. Между знаками могут стоять запятые, но могут и не стоять. Например,
(101.)2 = (12.)3 = 5,
(211.)0 = 15 при а = (4, 3, 2),
(132.)ь = 2 при b = (3, 4, 2).
Очевидно, что слева к такой записи можно добавить какое угодно количество нулей, значение представленного числа при этом не изменится. Крайний слева не равный нулю знак называется наибольшей значащей цифрой, все цифры справа от него являются значащими. Если s есть количество значащих цифр целого числа 7 или (что одно и то же) если 5 — 1 есть ранг его наибольшей значащей цифры, то
