ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
В таблице IX. 1 представлены два из 6! = 720 различных возможных кодов, соответствующих значениям то = 3, mi = 2. Рассматривая величину 7 как функцию от независимых переменных 5q, 5ъ можно для любого из 720 кодов записать многочленное выражение 7 от 5о, #i- Кодам, приведенным в таблице IX. 1, соответствуют полиномы
D = dq + р (0 ^ р < d, q — целое число).
(9.1)
(9.2)
Код а 7 = ?0 + 35i;
Код b 7 = 5i + 2^о-
Обратим внимание на простоту этих полиномов первой степени; соответствующие им коды называются линейными. Любой другой, кроме двух вы-
Деление Таблица IX. 1. Линейные коды
201
Код а ъ
7 61 So 61 So
0 0 0 0 0
1 0 1 1 0
2 0 2 0 1
3 1 0 1 1
4 1 1 0 2
5 1 2 1 2
шеприведенных, код содержит переменные в степенях, больших единицы, либо произведения переменных, например, 5о^1- Вернемся к уравнению (9.1) и произведем следующую подстановку: делимое D заменим на 7, делитель d — на то, а остаток р — на ?о; запишем
7 = ?о + шо^ь где 0 ^ ^о ^ то — 1- (9.4)
Из неравенства 0 ^ ^ mi — 1 следует, что 0^7^ momi — 1, и на-
оборот. В целом же, при заданных диапазонах mo, mi и переменных 5q, S1, 7, удовлетворяющих неравенствам (9.3), получается, что для каждого значения 7 существует одна и только одна конфигурация (5q, 5i), удовлетворяющая уравнению (9.4), и наоборот — каждой конфигурации (5q, ^1) соответствует одно и только одно значение 7.
Двинемся дальше и рассмотрим диапазоны mo, mi, m2 и независимые переменные 5q, Si, ?2, каждая из которых принадлежит соответствующему диапазону. Добавим сюда и переменную 7, принадлежащую диапазону momim2:
0^7^ momim2 — 1. (9-5)
Понятие конфигурации можно распространить и на совокупность целочисленных значений трех переменных. Каждому значению 7 соответствует одна и только одна конфигурация (5q, ^2), удовлетворяющая уравне-
нию (9.6), и наоборот:
7 = S0 + m0(5i + mi52) = ^0 + rn0Si + m0mi?2 (9.6)
или
7 = TToSo + TTiSi + 7Г2^2- (9.7)
Коэффициенты 7Го = 1, 7Ti = mo, 7Г2 = momi называются весовыми. Уравнение (9.7) определяет некий линейный код и составляет основание, на
202
Глава IX
котором строится любая позиционная система счисления — десятичная, например, или двоичная.
В качестве упражнения назначим диапазонам mo, mi, m2 целочисленные значения 2, 3, 4 всеми 3! = 6 возможными способами и приведем полином, соответствующий каждой последовательности. Запишем
m2 mi т0 7 = ttqSq + n\Si + 7г2^2 Код 1 (4, 3, 2) —> 7 = ?о + 2Si + 6^2?
Код 2 (4, 2, 3) -> 7 = ?0 + 35i +
Код 3 (3, 4, 2) -> 7 = ?0 + 25i + 8?2;
Код 4 (3, 2, 4) -> 7 = ?0 + 45i + 8?2;
Код 5 (2, 4, 3) -> 7 = ?0 + 35i + Ш2;
Код 6 (2, 3, 4) -> 7 = ?0 + 45i + Ш2.
Для значения 7 = 14, кодам 1-6 соответствуют следующие конфигурации:
—> 14 = 0 + 2x1 + 6x2;
-> 14 = 2 + 3x0 + 6x2;
-> 14 = 0 + 2x3 + 8x1;
-> 14 = 2 + 4x1 + 8x1;
-> 14 = 2 + 3x0 + 12x1;
-> 14 = 2 + 4x0 + 12x1.
Символы mo, mi, m2 и 5q, Si, S2 выстроены в арабском порядке, т. е. справа налево.
<^2 Si ?0
Код 1 (2, 1, 0)
Код 2 (2, 0, 2)
Код 3 0, 3, 0)
Код 4 0, 1, 2)
Код 5 (1, 0, 2)
Код 6 0, 0, 2)
Позиционные системы счисления со смешанным основанием
Основание b определяется как упорядоченная последовательность целых чисел
b = (mo, mi, m2, m3, ..., т^, ..., mn_i), rrii > 1 для всех г. (9.8)
Мы говорим, что основание имеет длину (или разрядность) п, а целые числа mo, mi, m2, .. •, rrii, • • • ? mn_ 1 называются диапазонами, или корнями основания 6. Любой набор целочисленных значений, назначенных переменным 5q, 5ъ #2? • • • 7 ^ • • • 7 ?п-1 в соответствии с их индивидуальными диапазонами, называется соответствующей, или конформной, конфигурацией. Иными словами, конфигурацию называют конформной основанию Ь, если
0Ог ^ rrii — 1, Для всех г. (9.9)
Позиционные системы счисления со смешанным основанием
203
Каждому члену с индексом г назначается весовой коэффициент 7г^:
7Гг = ШоШ1Ш2Шз . . . 1, ПрИ ЭТОМ 7Го = 1. (9.10)
Следовательно, любому значению целочисленной переменной 7, принадлежащей диапазону тгп (т. е. 0 ^ 7 ^ 7гп — 1), соответствует одна и только одна конформная конфигурация (5q, S2, • • • ? hi • • • ? 5n_i), удовлетворяющая
уравнению (9.11), и наоборот:
7 = S0 + m0(Si + mi(S2 + m2(S3 + m3(<54 + • • • + mn-2Sn-1)))) =
= + 7Г1^1 + + K3S3 + . . . + 7ГП_1 <5n_i.
