ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
(Иоганн Кеплер)
Число, вот уже несколько веков не дающее покоя математикам, архитекторам, философам, музыкантам и естествоиспытателям, есть положительный корень уравнения
Ф? - Ф1 - 1 = 0, (6.1а)
равный
Это число известно как золотое сечение, золотое отношение или же божественная пропорция. В дальнейшем вместо Фх мы будем пользоваться символом ф, общепринятым в математической литературе для обозначения золотого сечения. На букву ф начинается имя Фидия, украсившего Парфенон своими великолепными скульптурами. Любопытно, что, согласно легенде, чрезмерная любовь к золоту подвигла Фидия на кражу большого количества этого драгоценного металла, в результате чего он попал в тюрьму, где и умер.
Из уравнения (6.1а) следует, что
ф = д/1 -\~ ф = \J 1 д/1 = \j 1 \J 1 д/1 (j) = ..., (6.2а)
и можно показать, что к ф сходится выражение (6.2Ь):
Золотое сечение
125
Аналогично,
з
l + 2\jl + 2\Jl + 2{/77.^ ф. (6.2 с)
Непрерывные дроби (6.3а) и (6.3b) демонстрируют похожие сходимости:
1 1 1 / ф= 1 + + = Н----------=- = 1 +--=¦— = ... (6.3а)
Ф 1 + - 1 +--------------------г
Ф 1 + 7
Ф
1 +--------Ц-----------> ф. (6.36)
1+ 1 1 + —
1
1 + —
Рассмотрим следующую последовательность, уходящую в бесконечность в обоих направлениях:
1 1 , т, 1, Ф, Ф2, Ф3,--- (6.4а)
’ ф3’ 02’ Ф
Подставив ф2 = 1 + ф, можно переписать ее в следующем виде:
..., (2Ф~ 3), (2 - ф), (0 - 1), 1, 0, (1 + ф),
(1 + 20), (2 + 30), ... 1 j
Целочисленные коэффициенты в вышеприведенной последовательности суть не что иное, как члены Fi последовательности Фибоначчи, где Fq = О,
Fi = 1 и i^+i = i^-i +^i (см. табл. VI. 1). Несложно убедиться, что общий
член последовательности (6.4Ь) равен
фг = фР1 + i; (6.5а)
Таблица VI. 1. Значения F\^ = Fi для i = —3 11
i -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Fi 2 -1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
126
Глава VI
этот результат можно также доказать индукцией по г. Отсюда следует, что ф является действительным положительным решением уравнения
хг — Fix — F^ i = 0 (6.56)
при всех значениях г. Например,
,х‘3 — 2х — 1 = 0, х5 — Ъх — 3 = 0.
Каждый из членов последовательностей (6.4а) и (6.4Ь) является суммой двух предыдущих членов, отношение двух последовательных членов всегда одинаково. Эту уникальную последовательность принято называть золотой последовательностью. Можно записать
1 + ф 1 + 2ф 2 + 3ф 3 + Ъф 5 + 8ф , s
Ф = ф = ТТф = 1 + 2ф = 2 + 3 ф = 3 + 5 ф = " ' ^ ' С)
В уравнении (6.5а) общий член фг выражается через числа Фибоначчи, в уравнении же (6.6а), которое впервые было получено при изучении последовательностей Фибоначчи, имеет место обратная операция:
у (у) у* - (1 - <ру , ,
1 2ф — 1 ^ '
Ф+ф
Отсюда можно вывести знаменитое выражение, полученное в 1718 году де Муавром:
д = х(7!±? У-^ . «м»)
V5
При больших г уравнение (6.6а) дает
И
(6.6rf)
Г г
а также
фг « 2Fi+i — Fi. (б.бе)
От ЧИСЕЛ К ГЕОМЕТРИИ
127
Например,
ф10 122,9918693
(6.6с) -> 2ф_1 ~ 2 236067977 ^ 55’00363368’ тогда как = 55’
(6.6d) -^ ^ = || = 1,6181818... и ^ и 1,618033989,
ю 55 г24 4о оОо
(б.бе) -> 2Fn - Fio = 2 х 89 - 55 = 123, тогда как ф10 и 122,9918693. От чисел к геометрии
Рис. VI. 1 иллюстрирует один из нескольких способов построения прямоугольника, отношение длин сторон которого равно золотому сечению, с помощью линейки и циркуля. Сначала начертим два прямых отрезка О А и OD единичной длины, затем построим прямоугольный треугольник OAD, в котором AD = 2. Длина гипотенузы OD составит л/5 единиц. Если теперь провести окружность радиуса OD с центром в точке О, то можно построить два прямоугольника ABCD и BCEF, как показано на рисунке. Аспект-
