ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
Витые прямоугольники с неправильной затравкой
Осознавая, что наша терминология семантически может показаться в некотором роде двусмысленной, все же уточним: отношение длин сторон прямоугольника-затравки представляет собой, по сути дела, окончание непрерывной дроби. Термин «окончание» (оконечная нагрузка) хорошо подходит для обозначения физического импеданса, помещаемого в «конец» электрической цепи или линии передачи, тогда как термин «затравка» представляется более естественным при описании процессов роста. Нам уже известно, что при больших значениях п, вне зависимости от окончания фТ, верно следующее:
Ф СУ, СУ, СУ, . . . , CJ, , фт — > а Фщ — Фа,а' •
при больших п у Q;
120
Глава V
Можно предположить, что если начать построение с произвольной затравки с пропорцией фт, то с каждой последующей итерацией отношение длин сторон прямоугольника будет приближаться
к Фа,а' ИЛИ фа/,а, В ЗаВИСИМОСТИ ОТ ТОГО, быЛО ЧИСЛО итераций четным или нет. На рис. V. 11 а показан дигномонный расширяющийся завиток при а = = 0, 07, о! = 0, 035 и пропорции прямоугольника-затравки фт = 10. Этим значениям соответствует D « 20,709237, т. е. фа,а> ~ 1,4496466 и Фа',а ~ 0,7248233. Вычисленные значения являются пропорциями двух наиболее удаленных от центра прямоугольников, к которым столь изящно устремляются последовательные первичные прямоугольники. Фигура на рис. V.l lb получена итерациями моногномонного расширяющегося завитка при фт = 5, га = 0, 05, что соответствует Фт « 1,02531245. К этому значению приближаются пропорции внешних первичных прямоугольников уже после нескольких итераций. Предлагаем читателю самостоятельно поразмышлять о перпендикулярности асимптот в этом последнем случае.
Два витых треугольника
Очевидно, что витыми могут быть не только прямоугольники. На рис. V.12a изображен витой равносторонний треугольник (моногномонная фигура). При каждом повороте на 60° длина хорды увеличивается в 2 раза, тогда как радиус, соединяющий полюс О с вершинами А, В, С, D, ..., увеличивается во столько же раз при каждом повороте на 120°. Гномоном равностороннего треугольника ABC является трапеция ACDE'. На рис. V.12b представлен витой равнобедренный прямоугольный треугольник. Этот треугольник оказывается тождественным своему гномону и, следовательно, является гомогномонным. Можно идентифицировать две различные конфигурации: ABCDE и A'B'C'D'E'. В обеих конфигурациях длина хорды удваивается при каждом повороте на 90°. О других витых многоугольниках мы поговорим после рассмотрения золотого и серебряного сечений.
Заметки на полях
Еще раз о линиях передачи
Витые фигуры на рис. V.llb аналогичны электрическим линиям передачи, описанным в главе IV. Если оконечная нагрузка линии передачи
ч
Рис. V.llb. Моногномон-ные витые прямоугольники с неправильной затравкой.
Заметки на полях
Рис. V.12a. Витой равносторонний треугольник.
Глава V
Рис. V.12b. Витой гомогномоиный треугольник.
Заметки на полях
123
Zc
Рис. V.13a. Правильно оконченная линия передачи.
Zo-OZc
Zc
"Zr
Рис. V.13b. Неправильно оконченная линия передачи.
Zc_________________________________________________________________________________________________
^-f-) Zc______________________________________________ _----------> оо
Рис. V.13c. Бесконечная линия передачи.
в точности совпадает с ее характеристическим импедансом Zc, то входной импеданс линии также равен этому значению и линия называется согласованной или правильно оконченной (рис. V.13a). Этому утверждению соответствует выражение Фт = [га, га, ..., га, Фш]. Если импеданс на-
п
грузки Zr не совпадает с характеристическим импедансом, то входной импеданс линии Zq не равен ни одному из этих значений и линия называется несогласованной или неправильно оконченной. По мере увеличения длины такой линии значение входного импеданса приближается к значению характеристического импеданса, независимо от величины импеданса нагрузки (рис. V.13b). Этому утверждению соответствует, в свою очередь, выражение [га, га, га, ..., га] --> Фт. Входной импеданс бесконечно длинной
линии передачи равен ее характеристическому импедансу (рис. V.13c).
Глава VI
Золотое сечение
Геометрия таит в себе два великих сокровища. Одно из них — теорема Пифагора, другое — разделение отрезка на две части в крайнем и среднем отношении. Первое подобно слитку золота, второе же — драгоценному камню.
