ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
Эти выражения дают следующие периодические непрерывные дроби:
Фг S') Ф1
(5.5)
соответствующую прямоугольнику-затравке с ^-пропорцией ф8, и
фг — Г, 5, Г, 5, . . . , 5, фу
(5.6)
116
Глава V
соответствующую прямоугольнику-затравке с /i-пропорцией фг. Аналогичным образом можно записать
(5.7)
ф3 = [з, Г, 5, Г, . . . , 5, фг\. (5-8)
Эти выражения, вероятно, уже знакомы читателю по главе III, где с их помощью описывались дигномонные непрерывные дроби: а = г, а! = s,
Фа,а' — Фп Фа',а — Фв-
Утверждение ф8 = [5, фг] можно интерпретировать геометрически следующим образом. При вертикальном добавлении к первичному прямоугольнику с /i-пропорцией фг прямоугольника с v-пропорцией s получается новый первичный прямоугольник с v-пропорцией ф8. Это утверждение останется верным и если поменять в нем местами горизонтальное и вертикальное и символы г и s. Построение следующего прямоугольника с /i-пропорцией фг соответствует дроби фг = [г, s, фг\ = [г, ф8\. L-образ-ная фигура Г8 на рис. V.9a, образуемая объединением прямоугольников Gr и Gs, является гномоном прямоугольника S, так как при ее добавлении к S получается геометрически подобный S прямоугольник. Таким образом, прямоугольники Gs и Gr с рис. V.7c можно назвать полу гномонами. Гномон Г^ равен гномону Г5, увеличенному в фгф8 раз. Аналогично, L-образная фигура Гг на рис. V.9b, образуемая объединением прямоугольников Gs и G'r, является гномоном прямоугольника R, где R = S + Gr. Гномон Г'г равен гномону Гг, увеличенному в фгф3 раз.
а
b
г;
R
г г
Рис. V.9. Гномоны и полугномоны.
На рис. V.lOa изображен дигномонный витой прямоугольник при г = = 1, s = 1/2. На рис. V.lOb затравкой является внутренний квадрат со стороной 1, тогда как на рис. V.lOc — прямоугольник 1x2. Для прямоугольной затравки с соотношением сторон Фш > 1 всегда существует ненулевой гномон т = Фт — 1/Фт, у квадратной же затравки моногномона быть не может, зато она допускает бесконечное множество дигномонов, каждый из которых удовлетворяет равенству г — s — rs = 0.
Самоподобие
117
-1 1 -1 1 -1 2
2 2 2 .
- 1
Рис. V.lOb. Построение прямоугольника, изображенного на рис. V.lOa, из квадратной затравки.
Самоподобие
Рассмотрим правильно оконченную дигномонную ППД
Фа,ex' OL , • • • , , CtJ , Фсо,со' _ •
(5.9а)
118
Глава V
I
Рис. V.lOc. Построение прямоугольника, изображенного на рис. V.lOa, из прямо-
где каждый из обобщающих символов д, р! обозначает либо а, либо а Ниже приводится геометрическая интерпретация этих выражений.
Начав с затравки фи совершив р + q итераций, получаем прямоугольник с пропорцией фа,а'- Начав с той же затравки, получаем после q итераций прямоугольник с пропорцией фц,ц>, который становится затравкой
для р дополнительных итерации, приводящих в итоге все к тому же прямоугольнику с пропорцией фа,а'- Дроби (5.9) правильно окончены, т. е. любой первичный прямоугольник, возникающий в процессе построения, можно рассматривать в качестве новой затравки, причем от этой произвольно выбранной затравки построение можно вести в любом направлении, образуя расширяющуюся или сужающуюся спираль. В обоих направлениях процесс бесконечен, поскольку и сам прямоугольник фа^а/ также можно считать затравкой. Предположим, что мы уже совершили достаточно большое число итераций в каком-либо из направлений. Предположим также, что у нас имеется некий фотокопировальный аппарат, с помощью которого можно увеличивать или уменьшать получаемую картину в точности в фа,а'фа',а = = раз. Если увеличить или уменьшить нашу фигуру в любое кратное указанному количество раз, напечатать результат на прозрачной бумаге, а затем наложить его на исходную фигуру, то мы увидим, что обе фигуры полностью совпадают, за исключением некоторых выступов по краям, так как точность нашего рисунка по необходимости конечна. Добейся мы в обо-
угольнои затравки.
Можно записать
Р Q
(5 М)
(5.9 с)
Витые прямоугольники с неправильной затравкой
119
Рис. V.lla. Дигномонные витые прямоугольники с неправильной затравкой.
их направлениях бесконечной точности, совпадение было бы абсолютным, а фигуры неотличимы одна от другой.
В случае моногномонных витых прямоугольников увеличение или уменьшение фигуры в Фт раз дает совпадение обеих фигур при каждом повороте на 90° в любом направлении. Такой характер самоподобия составляет самую сущность спиралей и вызывает восхищение уже не у первого поколения математиков; не избежал этой участи и Бернулли, считавший спирали чудесными кривыми.
