ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
Начав на рис. V.7a с диагональной вершины, ближайшей к точке начала О, т. е. с вершины А, и посетив три остальные диагональные вершины в порядке увеличения радиуса, мы опишем расширяющуюся спираль АВСЕ, причем двигаться мы будем против часовой стрелки. Спираль, распространяющуюся против часовой стрелки, принято называть левосторонней. Если стартовать в точке D на рис. V.7b, то двигаться вдоль расширяющейся спирали нам придется в направлении по часовой стрелке. Такая спираль представляет собой зеркальное отражение предыдущей, развернутое на 180°, и называется правосторонней.
Отрезок прямой, соединяющий две соседние диагональные вершины, называется хордой. Двигаясь на рис. V.7c от точки А против часовой стрелки, измерим длины последовательных хорд АВ, ВС, СЕ и положим ВС/АВ = ф8 и СЕ/ВС = фг. Величина ф8 является в этом случае v-пропорцией прямоугольника ABCD, а фг — /i-пропорцией прямоуголь-
Витые прямоугольники
113
Рис. У.7с. Дигномонные витые прямоугольники.
ника BCEF. По мере расширения спирали в процесс вступает все большее количество прямоугольников. Необходимо, таким образом, договориться о правиле, с помощью которого можно было бы определить пропорцию прямоугольника. Прямоугольник, две из смежных сторон которого являются последовательными хордами спирали, будем считать первичным. Его первую (в направлении развертывания спирали) хорду назовем высотой, а вторую — основанием. Пропорцию прямоугольника можно теперь определить через отношение «высота/основание». Эта пропорция горизонтальна, когда горизонтальна высота прямоугольника, и вертикальна в противном случае. Приравняем длину общей стороны ВС к единице, тогда АВ = 1 /ф3, а СЕ = фг. Величины г и s определим следующим образом:
Г = фг —
Фз
Фг
(5.1)
Число г, на первый взгляд, совпадает с длиной отрезка DE (в действитель-
114
Глава V
а b
Рис. V.8. Дигномонный витой прямоугольник — проекция моногномонного прямоугольника.
ности, оно равно отношению DE/ВС), тогда как число s на данном этапе в геометрическом смысле несколько менее очевидно. Поскольку числа г, фг, ф3 могут быть только действительными и положительными, мы вправе записать
фгфз > 1, (5.2)
вфг — ^Фв = фгфз 1? (^’3)
число 5, таким образом, также положительно. Вообразим, что плоскость, которой принадлежит фигура, изображенная на рис. V.8a и представляющая собой моногномонный витой прямоугольник с затравкой Фт, повернута вокруг оси Оу на некоторый угол а, измеряемый в горизонтальной плоскости. Теперь построим перпендикулярную проекцию спирали, огибающей новую фигуру, на прежнюю плоскость, как показано на рис. V.8b. В результате этих манипуляций получим следующие соотношения:
А'В' = АВ cos а, С'Е' = СЕ cos а, ж С'Е' СЕ cos а ^
= ~св' = —I— = ФшС°8а’
, _ ав! 1 ф
Фв —
т
А'В' АВ cos a cos а’
DE
т = DE, г = DE cos а, s =
cos а
1
фгф8 = Ф^, ^ | = cos2 а.
YS
Дигномонная спираль получается в результате горизонтального сжатия мо-ногномонной спирали; при этом угол АО В ^ 7г/2. При повороте вокруг оси х мы получили бы спираль, сжатую в вертикальном направлении.
Витые прямоугольники
115
Возвращаясь к фигуре на рис. V.7c, продолжим сторону EF вниз до ее пересечения с диагональю С А в точке G и построим прямоугольник CEGH. Имеем
EG СЕ
DA CD
следовательно,
— фгф31
FG = фгфв — 1 = зфг = s х СЕ
и
s _ fg_
СЕ'
Отметим следующую закономерность (построение начинается с затравки S):
Прямоугольник В = (S Gг) с /i-пропорцией фг =
= (прямоугольник-затравка S с ^-пропорцией ф8) +
+ (прямоугольник Gr с /i-пропорцией фг); Прямоугольник (S + Gr + Gs) с ^-пропорцией ф8 =
= (прямоугольник S + Gr с /i-пропорцией фг) +
+ (прямоугольник Gs с ^-пропорцией ф8);
Прямоугольник (S + Gr + Gs + Grt) с /i-пропорцией фг = = (прямоугольник S + Gr + Gs с ^-пропорцией ф8) +
+ (прямоугольник Gr> с /i-пропорцией фг).
Вышеописанный процесс можно продолжать бесконечно, генерируя прямоугольники с чередующимися отношениями длин сторон фг и ф8 посредством добавления прямоугольников Gr, Gs, Gr>, .... Получаемая в результате спираль огибает последовательные первичные прямоугольники, соединяя их последовательные диагональные вершины. Возвращаясь к равенствам (5.1), можно записать
Фг
Г +
Фз'
S +
Фг
(5.4)
