ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
? l/l
А
Рис. V.3. Последовательные поколения прямоугольников, соответствующие дроби [1, 1, 1, 1, 1, 1], или завиток Фибоначчи первого порядка.
Моногномонные витые прямоугольники
Направленный наружу завиток на рис. V.3 соответствует непрерывной дроби [1, 1, 1, 1, 1, 1]. Начав с внутренней затравки с пропорцией ро = 1 и добавив слева квадрат, получим прямоугольник с /i-пропорцией р\ = 2/1. Последовательность пропорций такого завитка имеет вид: 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, что совпадает с последовательностью обратноподходящих дробей этой непрерывной дроби. Последовательность же 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, фигурирующая как в числителях, так и в знаменателях, есть не что иное, как последовательность Фибоначчи порядка 1.
На рис. V.4 представлен прямоугольник, соответствующий непрерывной дроби [2, 2, 2, 2], обратноподходящие дроби которой образуют последовательность 2/1, 5/2, 12/5, 29/12. Последовательность 1, 2, 5, 12, 29 является последовательностью Фибоначчи порядка 2. Оба эти примера иллюстрируют неправильно оконченные ППД (или дроби с неправильной затравкой). Каждая обратноподходящая дробь таких дробей отличается от соседних в последовательности. Перейдем теперь к правильно оконченным ППД (т. е. к дробям с правильной затравкой). Рассмотрим в качестве примера правильно оконченную простую периодическую непрерывную дробь
Витые прямоугольники
109
12
----------------— 29 -------------------------
Рис. V.4. Витой прямоугольник [2, 2, 2, 2] или завиток Фибоначчи порядка 2.
2.5 D 2
¦
В
Л5
3
3
2
5 3
6 2
С
6.75 г5 5 3] 3 10.125 г5 5 5 3]
4.5 .6 6 2. “ 2 6.75 .6’6’6’2.
3
2
Рис. V.5a. Затравочный прямоугольник 3/2 и гномон 5/6. с неполным частным 5/6 и затравкой 3/2 (рис. V.5a):
Ф5/6 =
3
2
5 5 5 L6’ 6’ 6’
3
’ 2
110
Глава V
затравочный прямоугольник V2 и гномон 1/V2
Рис. V.5b. Гомогномонный прямоугольник.
Начав с внутреннего прямоугольника-затравки ABCD с v-пропорцией 3/2, добавим к нему слева прямоугольник ADEF с /i-пропорцией 5/6. Его высота равна 2,5, основание равно 3. Получившийся прямоугольник BCEF обладает /i-пропорцией 3/2, тождественной пропорции затравки. Продолжая строить направленный наружу завиток, мы видим, что при добавлении каждого нового гномона пропорции 5/6 получается прямоугольник, подобный затравке, но развернутый на 90°. Возьмем еще одну простую периодическую непрерывную дробь (ППД) с правильной затравкой, неполным частным 1/л/2 и затравкой л/2 (рис. V.5b):
Ф
1/V2
У2 =
1 1
1
л/2 V2
V2
Начав с внутреннего прямоугольника-затравки с v-пропорцией л/2, добавим к нему слева точно такой же прямоугольник. При дальнейшем построении направленного наружу завитка площадь прямоугольника на каждом этапе удваивается, а отношение длин сторон (вертикальное или горизонтальное)
остается постоянным и равным л/2. Таким образом, прямоугольник с про-
Витые прямоугольники
111
порцией у/2 является собственным гномоном. Такие фигуры называются гомогномонными. Близкое к иррациональному у/2 отношение длин сторон демонстрирует стандартный лист французской писчей бумаги (официальный формат: 29, 7 х 21 см). Такой формат имеет одно замечательное свойство: сколько бы раз вы ни складывали лист бумаги пополам, отношение
длин сторон будет оставаться прежним, у/2. Каждый новый лист (ин-фолио, ин-кварто, ин-октаво) имеет то же отношение сторон, что и оригинал, давая в результате радующую глаз гармонию и, возможно, экономическую выгоду. В основе немецкого формата обозначения светочувствительности фотоматериалов DIN также лежит описанное свойство гомогномонного прямоугольника.
На рис. V.6 показан общий вид строящегося наружу витого прямоугольника с затравкой Фт и гномоном т. Диагонали пересекаются под прямым углом, причем tg вш = Фт. Заметим, что такие диагонали невозможно провести в случае неправильно оконченных ППД — таких, например, как на рис. V.3. Это свойство моногномонных витых прямоугольников легко выводится из элементарной геометрии. Очевидно, что витую фигуру можно называть моногномонной только в том случае, если она содержит правильную затравку (либо бесконечна). Свойства ее спиральной огибающей будут рассмотрены в следующей главе.
Рис. V.6. Прямоугольный моногномонный завиток, направленный наружу.
112
Глава V
Дигномонные витые прямоугольники
На рис. V.7a и V.7b прямоугольник ABCD вписан в прямоугольник BCEF и имеет с ним общую сторону ВС. Через вершины этих двух прямоугольников можно провести четыре диагонали и сгруппировать их в пары, по одной от каждого первичного прямоугольника. Всего таких пар четыре. Из них две пары таковы, что составляющие их диагонали пересекаются в одной из вершин прямоугольника. Диагонали двух оставшихся пар пересекаются где-то внутри вписанного прямоугольника. Мы рассмотрим только две последние пары, а именно: отрезки АС, BE на рис. V.7a и отрезки BD, CF на рис. V.7b. Точка пересечения диагоналей О называется точкой начала или полюсом. Из шести вершин, показанных на рисунке, на выбранные нами диагонали попадают только четыре. Эти особые вершины называются диагональными вершинами, а отрезок прямой, соединяющий полюс О с какой-либо из диагональных вершин, называется радиусом.
