ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
Глава IV
о
Р1 +
г2 +
Рг +
Рз +.
Рис. IV. 15. Топологическое сходство между электрической лестницей и ее непрерывной дробью.
Глава V
Витые фигуры
В этой главе мы рассмотрим геометрическую метафору периодических непрерывных дробей, которая приведет нас в последующих главах к равноугольной (или логарифмической) и другим спиралям. В процессе рассмотрения мы встретимся с интересными гномонными фигурами — такими, например, как «завиток» Фибоначчи, гомогномонные прямоугольник и треугольник и др.
Витые прямоугольники
Процедура, называемая алгоритмом Евклида, служит для нахождения наибольшего общего делителя двух положительных чисел (см. главу II). Ниже мы воспроизводим этот алгоритм для чисел ао и а\ («о > al)-
ао = aiqo + «2, ai > «2?
а\ = CL2Q1 + «2 > &з7
&3 >
аз = «4^3 + «5, «4 > «5,
&i—l — QjiQi— 1 ^ ^г+1?
(2n_i — dnQn— 1 Н- О?
где qo, qi, q2, ... — целые числа.
Алгоритм Евклида
Рассмотрим изображенный на рис. V.1 прямоугольник ABCD со сторонами ао и а\. Прямоугольник CBEF со сторонами ао и вписан в прямоугольник ABCD и имеет с ним общую сторону ВС. Сторона АЕ оставшегося прямоугольника AEFD равна «2- Затем в AEFD вписывается прямоугольник AEHG, вертикальная сторона которого AG равна «2^1-
106
Глава V
Рис. V.l. Геометрическая метафора для уравнений алгоритма Евклида.
D
С
1
Н
А
7-
В
43
Рис. V.2. Витой прямоугольник с соотношением сторон 43/9.
Остаток GD равен <23. Этот процесс, который без труда экстраполируется и далее, представляет собой геометрическую метафору вышеприведенных уравнений.
Стороны прямоугольника ABCD на рис. V.2 равны 43 и 9. Принято говорить, что такой прямоугольник обладает горизонтальной пропорцией (или /i-пропорцией) 43/9. Впишем в него, начиная с правого конца, наибольшее возможное количество примыкающих друг к другу квадратов. Получается четыре квадрата, занимающих площадь EBCF. Остается прямоугольник AEFD с вертикальной пропорцией (или v-пропорцией) 9/7. На данный момент наше построение представляет собой геометрический эквивалент равенства 43 = 4 х 9 + 7 или
43
9
4 +
1
9/7’
Витые прямоугольники
107
то есть
P3 = f = [4, 9/7] = [4, р2].
Следующий шаг состоит во вписывании наибольшего количества квадратов в остаточный прямоугольник, начиная снизу Как выясняется, можно изобразить только один такой квадрат (AEHG), после чего в левом верхнем углу получаем остаточный прямоугольник GHFD со сторонами 7 и 2 (т. е. с /i-пропорцией 7/2). Это эквивалентно записи
л - 9 _ 1 , 7
Р2 — ij — 1 + 2 >
то есть
43
= [4, 1, 7/2] = [4, 1, Р1]
9
Третий шаг представляет собой эквивалент равенства
_ 7 _ о , 1 Pl ~ 2 -3 + 2;
в результате остается прямоугольник v-пропорции 2/1. На этом процесс останавливается, так как 2 есть целое число, а мы записываем следующую непрерывную дробь:
f = [4, 1, 3, р0] = [4, 1, 3, 2].
Частное 2 можно, в свою очередь, записать в виде 2 = 1 + (1/1), что дает
43
9
[4, 1, 3, 1, 1].
Отметим изменение направления рассмотрения слева направо и снизу вверх, образующее завиток, направленный внутрь, причем движение происходит по часовой стрелке. Прямоугольники, изображенные на рис. V.1-V.3, мы будем называть витыми прямоугольниками. Они являются предшественниками спиралей, о которых мы поговорим в главе VIII. Ту же фигуру можно получить, начав с внутренней квадратной затравки и добавляя к ней последовательно прямоугольники с отношением сторон 1, 3, 1, 4 по завитку, направленному наружу. Посмотрим, что произойдет, если непрерывная дробь окажется периодической.
108
Глава V
I
13/8
8/5
2/1 О ¦
3/2 П
