ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
Лестничные цепи из блоков
99
показано на рис. IV.lOd. Проекция фигуры на плоскость у — z в любой момент времени является не чем иным, как логарифмической спиралью. При каждом повороте на 360° радиус спирали уменьшается в еаХ раз.
Если смотреть из некоторой удаленной точки на положительной оси х, то спираль вращается против часовой стрелки со скоростью оо радиан в секунду, что составляет превосходную метафору для описания распространения волны.
С
flL
У
Рис. IV. 11. Блок и эквивалентный ему преобразователь.
Лестничные цепи из блоков
Рассмотрим блок, изображенный на рис. IV.11. Ось блока может перемещаться в вертикальном направлении при натяжении охватывающей его нити, приложенном с любой стороны. Предназначение пружины S заключается лишь в обеспечении реакции на натяжение нити и сохранении устойчивости всей конструкции. В нижеследующем обсуждении нас будут занимать только продольные перемещения и повороты блока; стоящие за этим силы мы рассматривать не будем. Введем следующие обозначения: х и у — продольные смещения нити в соответствующих направлениях, показанных на
100 Глава IV
рисунке, Q — угол поворота блока при этих смещениях, г — радиус блока, a z — результирующее смещение оси блока. Можно записать
Z + Clr = х и ?1г — Z = у,
откуда находим:
О Х+у х-у
П=— И z = ~2~-
Эквивалентный рассматриваемому блоку преобразователь показан на рисунке справа.
2Q
2 mho =.5Я
VSL
Zq = = [2,2] = 5/2
l0
Рис. IV. 12. Двухблочная лестничная конструкция и эквивалентные ей цепь из преобразователей и электрическая цепь.
Из двух таких блоков можно построить машину, изображенную на рис. IV. 12, со вспомогательным блоком Р на неподвижной оси, который в данной системе осуществляет лишь изменение направления смещения v\ на обратное. На рисунке также показаны эквивалентные цепь из преобразователей и электрическая цепь. Отметим, что утверждение i\ = 0 соответствует
Лестничные цепи из блоков
101
10
VI
v2 = 0
0—[
v2 =0
2Q
tvi
vo
Z0 =12/5 Q
2Q
1/2Q
f
Z0 = -^ = [2,2,2]= 12/5 *0
Рис. IV. 13. Трехблочная лестница.
в цепи из блоков фиксации конца соответствующей нити, а в электрической цепи — размыканию цепи в месте предполагаемого присоединения следующего последовательного участка. Для описанных конструкций верно равенство
f = Р, 2] = §.
го л
Стрелками обозначены смещения в механической модели, направления движения «сигналов» в модели преобразователей и токи в электрической моде-
102
Глава IV
ii
Ў
4
1+V2
Vf> ^?2 у^ 2?2 у2
о—жтя » тш » о
л
*2?
iv2+l Q
Zq =[2,2,2,2,1+V2] = 1+V2Q
Рис. IV. 14. Правильно оконченная лестничная цепь из блоков и эквивалентные ей преобразовательная и резистивная лестницы.
Заметки на полях
103
ли. Следующая конструкция (рис. IV. 13) построена из трех блоков. Процесс можно продолжать, добавляя все новые и новые блоки. Входной импеданс n-блочной системы определяется выражением vo/io = ^2,71+1/-^2,п-Ни одна из построенных в данном разделе цепей не была правильно оконченной. «Характеристический импеданс» этих цепей равен Zc = 1 +
+ л/2. Будь цепи правильно оконченными, эта величина совпадала бы со значением входного импеданса. На рис. IV. 14 показана правильно оконченная цепь, соответствующая непрерывной дроби Zq = Zc = [2, 2, 2, 2, Zc =
= 1 + л/2. Ее окончанием служат два жестко соединенных блока с радиусами 1 и 1 + л/2 и общей неподвижной осью; на эти же блоки наматываются свободные концы соответствующих нитей. В такой системе vo/io = ^2/22 =
= 1 + л/2.
Заметки на полях
Топологическое сходство
На рис. IV. 15 хорошо заметно поразительное топологическое сходство между принципиальной схемой электрической цепи лестничного типа и математически описывающей ее поведение непрерывной дробью. Тщательное исследование этой аналогии могло бы пролить некоторый свет на природу соответствующего физического процесса, равно как и на адекватность его математического представления. Начиная рассмотрение с нижнего конца непрерывной дроби, можно видеть, что в природе — а точнее, в размерности — последовательных обратноподходящих дробей наблюдается чередование между адмиттансом (т. е. полной проводимостью; заштрихованные прямоугольники в верхней схеме) и импедансом (полным сопротивлением), тогда как все последовательные подходящие дроби имеют одинаковую размерность — размерность импеданса. Пожалуй, еще более наглядно эта метафора проявляется на рис. IV. 14.
104
