ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
^о
го
vo
VI
VI
к
Vi
V2
— — rD
— 1 J-'m 1
гг
Vt-l
vt
rpD
2
m
го_
vi
Ф
4
V2
гг-i
vt
pD
(4.5)
m'
Таким образом, с каждой последующей ступенью напряжение на параллельном участке уменьшается в Ф^ раз. В строго резистивной цепи — а именно такие схемы мы и рассматривали до сих пор — величина Фш является действительным числом, большим единицы, и такая схема работает как аттенюатор (или ослабитель).
Примеры.
1) Требуется построить аттенюатор, который уменьшал бы входное напряжение на каждой ступени в 2 раза; иными словами, должно соблюдаться условие vi+i/vi = 1/Ф^ = 1/2. Из равенства т = Фт — 1/Фт
получим т = 1/л/2, т. е. гр = 1/2. Если произвольно выбрать г = 1 ом, то величина р должна составить 1/2 мо (т. е. величину, обратную 2 ом). Получившийся у нас правильно оконченный аттенюатор показан на рис. IV.7а.
V0o-
ZQ = 2Q
vo/2
izzzj-
vo/4
IQ
m
н h
IQ
2Q
2Q
IQ
Рис. IV. 7a. Аттенюатор по степеням 2.
90
Глава IV
vo/10
Z = 90Q
vo°—i и
81Q
vo/100
о-1 I-. f---..............1 1---о---|
81Q . 81Q
10Q
10Q
9Q
Рис. IV.7b. Аттенюатор по степеням 10.
2) В аттенюаторе, уменьшающем входное напряжение на каждой ступени в 10 раз, т2 = гр = 81/10. Его возможные характеристики: сопротивление последовательного участка г = 81 ом, сопротивление параллельного участка 1 /р = 10 ом, оконечный импеданс 9 ом, входной импеданс 90 ом (рис. IV.7Ь).
z0 -
*1.
/i+l
к
1 ,п
1 ь- -1 3 ..........1 п
1Q 1Q 1Q
2 1Q 4 1Q
Рис. IV.8. «Лестница Фибоначчи».
3) Лестничную схему, изображенную на рис. IV.8, можно назвать «лестницей Фибоначчи». Все сопротивления пронумерованы (1,2,3,...) и равны 1 ом. Входное сопротивление составляет
гу -^1,71+1 Z0 = —-------- ОМ.
^1,71
При достаточно большом количестве сопротивлений и достаточно высокой точности измерения входной импеданс такой лестницы приближается к 1, 618 ом.
Часто бывает удобно рассматривать цепи лестничного типа, составленные из последовательных симметричных Т-образных звеньев, как показано на рис. IV.9. Нетрудно показать, что входной импеданс такой лестницы при
Электрическая лестница
91
Рис. IV.9. Лестница из Т-образных звеньев, наличии правильной оконечной нагрузки равен
Zv = Zt = г (^Dm — + фр- (4-6)
Мнимые компоненты
Рассмотренные до сих пор лестничные схемы были строго резистивными. Когда мы вводили понятие непрерывных дробей, мы указывали на то, что простые непрерывные дроби (ПНД) могут содержать как действительные, так и комплексные неполные «частные». Любой инженер-электрик не задумываясь назовет вам три фундаментальных пассивных строительных блока, на которых стоит величественное здание сложного и в высшей степени практичного искусства электротехники. Это сопротивление, индуктивность и электроемкость. Во вселенной, в которой электрические токи принимают с течением времени всевозможные формы, поведение резистора задается мгновенным значением силы тока, индуктивность зависит от скорости изменения силы тока, а вклад электроемкости определяется накоплением прошедших событий. Гениальности математиков прошлого и одному их весьма дерзкому изобретению обязаны мы тем, что такое сложное поведение, описываемое обыкновенно с помощью громоздких уравнений с привлечением дифференцирования и интегрирования, было сведено к виду, настолько простому, что инженер с минимальной математической подготовкой без труда манипулирует этим поведением на свое усмотрение. Само изобретение заключалось в создании понятия мнимой величины, т. е. числа, включающего в себя квадратный корень из —1. Не вдаваясь в излишние здесь подробности, укажем лишь, что если на электрическую схему подать синусоидальное напряжение, то оказывается возможным распространить замечательно простой закон Ома и на поведение индуктивностей и емкостей, т. е. так называемых реактивных компонентов схем. Осуществляется это следующим образом: если обозначить квадратный корень из — 1 символом j, а величину пульсации (или угловой частоты) синусоидального
92
Глава IV
переменного тока частоты / определить как со = 27т/, то эквивалентный импеданс индуктивности L будет равен jcoL, а эквивалентный импеданс емкости С — величине 1 /jcoC.1
Рассмотрим LC-цепь лестничного типа, изображенную на рис. IV. 10а, индуктивности L и конденсаторы С которой представляют собой идеальные реактансы (иначе: реактансы без потерь), т. е. не содержат никаких резистивных компонентов, рассеивающих электрическую энергию. Данная лестничная схема правильно окончена: и входной, и оконечный импедан-сы равны величине, которая называется характеристическим импедансом и
