ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
г+1
. , 777
У
Oi I
а
80
Глава III
J
E
p!
m, m, m,
J
• • V 6J Фт
E
pr
Fm,j-1 + Fm,j\l и Фт
Правильно оконченные дроби: фт = ф^,
ш
а
— Фа,а'
1
Фа' ,а
(X — Фа',а
1
Фа,
а'
Фа,а' —
Фа,а' ^Фа,
71
а
о;'
алУ = m2,
для всех п,
о:'
— = о
Фа,а' '
= Фа,а' Фа',
а
QtDm — jyi Фт
афа,о.> = тфт = Ф2т - 1.
Неправильно оконченные дроби: фТ ф фш,ш'
Ф — — Рп — , • • • , 1 Ф',
^v<'“
п
а
а'
га, га, га,
71
,гп,ц%ф,
-^т,п Н- -^771,71+1 \/ ФТ
а_ а'
Fm,n— 1 Н- Frn^n\l ф
си
а
71
при больших п у О!
Фт = 0а,а' независимо ОТ фт,
а, а , . . . , 6с?,
44 V*
П
а
а ч-
га, га, га,
• • ?
га
—'ib Г гт,
п
а
п •
Резюме в формулах 81
Бесконечная дробь:
а, о!, а, с/, ...
Фа,а' •
Случай очень малого т
ПЫЪ ПЫЪ
Fm,n ~ sinh —при четном п и ~ cosh —при нечетном п. Случай очень малого и мнимого т
YYlYi ТТЬТЪ
Fjm,n ~ j sin при четном п и « cos при нечетном п.
Правильно оконченные полигномонные ППД
Фа а' а" а'" а(п) ~~ ® 5 ^ , QL , ... , cS~ ^, QL, (X , ; О! , . . . , ^,
СУ, СУ , СУ , •••? ^ ? Фи>' , Lu" , Lu"Lu(n) , LU. 1 1
Фа. а' а". а'" а(п) СУ ~b
о:', о:", а'", а(п), а
Глава IV
Лестницы: от чисел Фибоначчи до распространения волн
Эта глава представляет собой результат непосредственного практического применения непрерывных дробей и иллюстрирует в занимательном свете итерационные процессы с обратной связью — от построения электрических лестничных схем до распространения сигнала по линиям передачи.
Предложена также и механическая метафора с использованием блоков. Из нее может получиться интересный проект для механика-любителя или студента, готовящегося к научной выставке в колледже.
Лестница из преобразователей
Изображенная на рис. IV. 1а конструкция сродни устройству, называемому инженерами операционным усилителем. Она обладает двумя асимметричными портами ввода и одним портом вывода и характеризуется
некоей передаточной функцией (или коэффициентом усиления) G, которая может быть как действительным, так и мнимым числом. Такую конструкцию мы будем называть преобразователем. Если к портам ввода подведены «сигналы» хну, как показано на рисунке, то результирующий сигнал z на выходе определяется выражением z = G (х — у). Для нас в данном случае не важна конкретная физическая природа сигналов, подаваемых на входы и измеряемых на выходе. Это может быть напряжение, сила тока, какие-либо механические деформации и т.д. Роль преобразователя заключается в преобразовании некоей физической величины в физическую той же либо иной природы.
Из описанных преобразователей можно построить рекурсивную конструкцию, изображенную на рис. IV.lb, с последовательными передаточными функциями до, то, Мъ т2? • • •• Обозначив различные порты ввода и
Рис. IV. 1а. Преобразователь.
Лестница из преобразователей
83
v-линия
1-линия
1 2 А = /1(Ь В = х0, С = ц\, d = T\, Е= Ц2
Рис. IV. lb. Лестница из преобразователей.
вывода, как показано на рисунке, можно записать
^0 = Оо - Vi)/ii,
Ч = (vi - V2)/ii, = (V2 ~ 0)/i2.
