ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
При больших значениях п, вне зависимости от окончания 0Т, это выражение принимает вид:
Г А 1 ^ Фт^ш1п ЛЧ /О ОГ\
рп = га, га, га, ..., га, фт = ------—------- ~ Фт. (3.35)
v “1“ -1-/ Ц^т,п—1
Фт + 1
п
При га > 1 сходимость достигается довольно быстро.
Произвольно оконченные простые периодические дроби
73
Рассмотрим следующую произвольно оконченную дигномонную ППД, окончание которой фт есть произвольное положительное число:
ф = [а, ot, а, а/, ..., р, р!, /i, //,..., а;, а/, ф.
п
Случай 1. п — четное, т. е. а = а;. Запишем
а
л/
«о;'
п
ф'.
положив \Jа.о! = л/оооо' = m, получаем
а
а'
771, 771, 771,
71
. . , 771,
CJ_
ф'
Случай 2. 77 — нечетное, т. е. а' = о;. Запишем
а
л/
а
а'
п
оо
777, 777, 777, . . . , 777, А/ —тфт
00
(3.36)
(3.37)
(3.38)
Таким образом, при любом значении гг справедливо следующее равенство:
Ф =
а, а , а,
S/"""
71
, а;, а/, фг
У
а
а'
777, 777, 777,
тг
'Fm,n Н- -^m,n+l \/ Фт
о_
а'
Fm,п — 1 Н- Fm,n\l (jj Ф
(3.39)
а;
Теперь можно определить подходящую дробь ^ (начиная с левого конца дроби (3.36)):
74
Глава III
Пример. Вычислим значение дроби
Ф
1 ± 1 !
’ 2’ ’ 2
Обратившись к таблице III. 1 при т = 1/л/2, получим
Ф =
/1 'F(i/^).5 11 2 у'2 11,
VV2WM 4 5 5’
верно также и то, что обратноподходящая дробь (считая с правого конца дроби (3.36)) равна
1 11
1 +
1 1
- +
2 1 + 2
Кроме того, имеем
j
Е
р!
777, 771, 771,
"S/"
п
и
р!
, 11
00
. . , 777, А / ^ фт
(3.41)
Пример. Вычислим значение дроби 0
i, 1, §, V2
= ,^5/(2>/2) + 11/4 = 5-у/2 + 11 3/2 + 5/(2V/2)
При большом 77, независимо от окончания фТ,
ф = [(а, а/, а, с/, ..., а;, а/), ф.
71
а
а'
а'
(3.42)
В главе о витых фигурах будет продемонстрирована потрясающая геометрическая иллюстрация данного утверждения.
Когда т очень мало 75
Когда гп очень мало: от чисел Фибоначчи к гиперболическим и тригонометрическим функциям
Случай, когда значение т очень мало, хотя и представляется, на первый взгляд, несколько академичным, оказывается на удивление полезен при рассмотрении определенных физических феноменов — таких, например, как поведение электрического сигнала в линиях передачи. Рассмотрим сначала затравочное число Фт. Согласно уравнению (3.3а) имеем
д. л/4 + т2 + т 1 л/4 + т2 — т
Фп
т
/ <11
т
Ф,
При очень малом т величина т2 оказывается пренебрежимо малой по сравнению с 4, в результате чего получаем
Фт«1 + |, (3.43а)
Перепишем уравнение (3.43а) для четных значений п:
/ \ П / \ п
р Фт-(-1/Фт)" Ф"~1/Ф" ,Д1 + Т)
фт + 1/Фт фт + 1/Фто ~ 1 + т. +1 _ т
Малость величины т/2 позволяет записать
х г, т тп , х г, тп
1 + = е 2 хп = е 2 И (Х - f) = е“ 2 ; (3.43b)
следовательно, для четных значений п
тп тп
Fm,n « -------ф------- = sinh (3.43с)
Рассуждая аналогичным образом, при нечетных п получаем выражение:
тп тп
Fm,n « ---------------= cosh (3.43d)
Хорошо известно, что sinh jx = j sin ж, a cosh jx = cos x (j = y—!)• Заменив в уравнениях (3.43c) и (3.43d) m на jm, получим
771 • • 77177/ /о л о \
-Гjm,n ~ J Sin —р— для четных 71, (3.43е)
7Т7/Т7/
Fjm,n ~ cos -р— для нечетных п. (3.43/)
76
Глава III
Приложение: полигномонные простые периодические
Как уже говорилось, мы будем опираться в наших дальнейших рассуждениях только на моногномонные и дигномонные ППД. Тем не менее, отметим, что
Интересующемуся читателю предлагаем в качестве упражнения рассмотреть тетрагномонную ППД, т. е. дробь, соответствующую непрерывной дроби периода 4, где а, а!, а", а'" — обобщающие символы, причем если символом а представлено какое-либо из неполных частных упомянутой непрерывной дроби, то символами о!, а", а'" — остальные три частных в порядке их размещения в периодической последовательности. Это же правило применимо и к обобщающим символам со, со', со", со,п, которые назначаются конкретным неполным частным безотносительно к тому, как распределены а, а', а", а'". Итак, имеем
