ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
. . , 777/, фт
s
Fm,j Н-
Fm,j — 1 Н- Фт-^''m,j
1
70
Глава III
то есть
п
Fm,n Н- 0т-^га,п+1 Fm,n—1 Н- 0т-^га,п
(3.24)
В качестве упражнения читателю предлагается самостоятельно доказать следующее утверждение: если окончание
/ , ^га,/с+1
Фт — тш,к — Т-i 5
Я
га,/с
ТО
Ш, Ш, Ш, . . . , 771, фт,к_ — ^га,/с+п
71
Моногномонная ППД считается правильно оконченной (иначе: дробью с правильной затравкой), если ее окончание фТ равно числу Фт, определенному в уравнении (3.2). Отсюда следует, что
Фт = [то, Ф
га
ГП.
ГП, Ф
га
га, га, Ф
га
(3.25)
и что при любом п истинно равенство
Ф
га
га, га, га,
п
.., га, Ф
-У
га
(3.26)
Дигномонная простая периодическая дробь
Возьмем два числа:
У5 + Уз Уз
<^>1 =
Уз
У5-Уз
Эти числа являются решениями уравнений
1
0:
1
00 = 2 + = [2, 0Х], фх = 3 + = [3, 0О], (3.27)
00
которые дают следующие шесть дигномонных ППД:
0о — [2, 3, 2, 3, ...
(3.28а)
ДИГНОМОННАЯ ПРОСТАЯ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ДРОБЬ
71
ф\ = [3, 2, 3, 2, ...
: [2? 3, 2, 3, ..., 2, 3, фо\ч
Фо =
Фо = [2, 3, 2, 3,
ф\ = [3, 2, 3, 2,
ф\ = [3, 2, 3, 2,
3, 2, 0i],
2, 3, 0о],
3, 2, 0i].
(3.286)
(3.28с)
(3.28<i)
(3.28е)
(3.28/)
Дроби (3.28а) и (3.28Ь) бесконечны. В уравнениях (3.28с) и (3.28f), начав с последнего неполного частного, т. е. с окончания, и двигаясь к началу дроби, мы можем наблюдать следующую картину: при любом четном количестве итераций обратноподходящая дробь всегда оказывается равной своему окончанию. В уравнениях же (3.28d) и (3.28е) ситуация несколько иная: при любом нечетном количестве итераций обратноподходящая дробь также оказывается равной окончанию, но не своему собственному, а окончанию другой дроби из пары.
Уравнения (3.28) можно переписать в общем виде, используя особые — назовем их обобщающими — символы. Обозначим первое неполное частное через а, второе — через а', третье — снова через а и т. д. Аналогичным образом буква со будет представлять предпоследнее перед произвольным окончанием фТ неполное частное, а со' — последнее, как показано в (3.29). Если даны неполные частные qo, qi, то любому из этих частных можно назначить любой из обобщающих символов а, а' с одним лишь ограничением: если символом а обозначить частное qo, то символом а' следует обозначить частное qi, и наоборот. Независимо от этого обозначения, каждый из символов со, со' может быть присвоен какому-либо из частных с учетом аналогичного ограничения. Итак, запишем
ф = [а, а', а, а/, фг
Кроме того, определим фа^ и фа/jQ! следующим образом:
(3.29)
Фа,а' — а +
1
Фа' ,а
Фа' ,а — OL ~\-
1
Фа,
(3.30а)
а'
Вследствие общего характера величин фа^ и фа> ,а, одно из вышеприведенных выражений оказывается, в сущности, излишним. Опустим его и запишем
Фа,а' — Фа',а_ — Р^ч & ч Фа,а1
а, с/, ..., со, со', фи,
а, о!, а, о!,
LO'
(3.306)
(3.30с)
(3.30d)
72
Глава III
Из (3.30а) следует, что
Фа,ct' ~ Ыфа,а' - + = 0. (3.31)
а
Положив аа! = иоио' = га2 и решив уравнение для действительных положительных значений фа,а', получим
Фа,а' — CxDm — —Фт — A^j f Фщ, (3.32ft)
^т — Фа,а' Фа' ,ai (3.326)
а/ = гаФт = Ф2Ш - 1, (3.32с)
где
Фт — mDrm Dm = 2 ^ ^ Н • (3.33)
Дигномонная ППД считается правильно оконченной, если фТ = фш,ш^ как в (3.19а,с, d), (3.28с, d, е, f) и (3.30Ь,с).
Произвольно оконченные простые периодические дроби
Ниже вновь приводится полученный нами ранее (см. формулу (3.24)) результат, позволяющий вычислить значение обратноподходящей дроби произвольно оконченной моногномонной ППД:
/ гг / I Fm,n + 0т ^m,п+1 го
ф = рп = оп = [т, т, т, ..., т, фТ\ = —-------------------- -. (3.34)
4 v ^ -Гm,n—l Нг (рт-Гт,п
п
Например,
Jv _ И 1 1 1 1 Ol _ 2-^1,6 _ 5 + 16 _ 21 ^ п Д1 KQQ/I а
Ф - [1, 1, 1, 1, 1, 2] - 4 + 2Fi 5 - 3 + 10 - 13 ’6153846-
