Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
3.2. Марковский процесс 71
3.2.1. Согласованность. Уравнение Чепмена — Колмогорова 72
3.2.2. Дискретное пространство состояний 73
3.2.3. Более общие меры 73
3.3. Понятие непрерывности для стохастических процессов 73
3.3.1. Математическое определение непрерывного марковского процесса 75
3.4. Дифференциальное уравнение Чепмена — Колмогорова 76
3.4.1. Вывод дифференциального уравнения Чепмена — Колмогорова 78
3.4.2. Статус дифференциального уравнения Чепмена — Колмогорова 81
3.5. Интерпретация условий и результатов 82
3.5.1. Скачкообразные процессы. Управляющее уравнение 82
3.5.2. Диффузионные процессы. Уравнение Фоккера — Планка 83
3.5.3. Детерминированные процессы. Уравнения Лиувилля 84
3.5.4. Процессы общего вида 86
3.6. Уравнения, описывающие изменение вероятностей при изменении 87
начального времени. Обратные уравнения
3.7. Стационарные и однородные марковские процессы 88
3.7.1. Эргодические свойства стационарного процесса 89
3.7.2. Однородные процессы 92
3.7.3. Приближение к стационарному процессу 93
3.7.4. Автокорреляционная функция марковских процессов 98
3.8. Примеры марковских процессов 101
3.8.1. Винеровский процесс 101
3.8.2. Одномерные случайные блуждания 105
3.8.3. Пуассоновский процесс 109
3.8.4. Процесс Орнштейна — Уленбека 111
3.8.5. Случайный телеграфный процесс 115
4. РАСЧЕТЫ МЕТОДОМ ИТО 117
И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
4.1. Обоснования 117
4.2. Стохастическое интегрирование 120
4.2.1. Определение стохастического интеграла 120
4.2.2. Пример J W (t' )dW (t') 122
4.2.3. Интеграл Стратоновича 124
4.2.4. Неупреждающие функции 124
4.2.5. Доказательство того, что dW(t)2= dt и dW(t)2+N = 0 125
4.2.6. Свойства стохастического интеграла Ито 127
4.3. Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) 132
4.3.1. Стохастическое дифференциальное уравнение Ито. Определение 132
4.3.2. Марковское свойство решения стохастического 135
дифференциального уравнения Ито
4.3.3. Замена переменных. Формула Ито 135
4.3.4. Связь между уравнением Фоккера — Планка и стохастическим 136
дифференциальным уравнением
4.3.5. Системы с несколькими переменными 137
4.3.6. Стохастическое дифференциальное уравнение Стратоновича 139
4.3.7. Зависимость решений от начальных условий и параметров 142
4.4. Примеры и решения 144
4.4.1. Коэффициенты, не зависящие от х 144
4.4.2. Мультипликативный линейный белый шум 145
4.4.3. Комплексный осциллятор с шумящей частотой 146
4.4.4. Процесс Орнштейна — Уленбека 148
4.4.5. Переход от декартовых координат к полярным 149
4.4.6. Процесс Орнштейна — Уленбека для случая многих переменных 151
4.4.7. Общее линейное уравнение для одной переменной 155
4.4.8. Линейные уравнения для многих переменных 157
4.4.9. Процесс Орнштейна — Уленбека, зависящий от времени 158
5. УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА — ПЛАНКА 160
5.1. Общие замечания 160
5.2. Уравнение Фоккера — Планка в одномерном случае 161
5.2.1. Граничные условия 162
5.2.2. Стационарные решения однородных уравнений Фоккера — Планка 168
5.2.3. Примеры стационарных решений 170
5.2.4. Граничные условия для обратного уравнения Фоккера — Планка 173
5.2.5. Методы собственных функций (однородные процессы) 174
5.2.6. Примеры 177
