Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
5.4.1. Решения задач, связанных с достижением границ.......... 221
5.4.2. Распределение точек выхода............................. 224
6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ .... 227
6.1. Теории возмущений, основанные на малости шума .................. 227
6.2. Разложения по малому шуму для стохастических дифференциальных
уравнений ...................................................... 230
6.2.1. Пределы применимости разложения........................ 233
6.2.2. Стационарные решения (однородные процессы)............. 234
6.2.3. Среднее значение, дисперсия и временная корреляционная
функция ............................................... 235
6.2.4. Сложности теории возмущений для малого шума............ 236
6.3. Разложение по малому шуму для уравнения Фоккера — Планка........ 239
6.3.1. Уравнения для моментов и автокорреляционных функций . 241
6.3.2. Пример ................................................ 244
6.3.3. Асимптотический метод для стационарного распределения 246
6.4. Адиабатическое исключение быстрых переменных ................... 247
6.4.1. Абстрактная формулировка на языке операторов и проекций ............................................................ 250
6.4.2. Решение с использованием преобразования Лапласа........ 253
6.4.3. Поведение на малых временных масштабах .-.............. 256
6.4.4. Граничные условия ..................................... 258
6.4.5. Систематический анализ в рамках теории возмущений ..... 260
6.5. Белый шум как предельный случай коррелированного процесса....... 264
6.5.1. Общность результата ................................... 269
6.5.2. Более общие флуктуационные уравнения .................. 270
6.5.3. Системы, неоднородные во времени ...................... 271
6.5.4.- Учет зависимости L{ от времени ........................ 272
6.6. Адиабатическое исключение быстрых переменных: общий случай...... 273
6.6.1. Пример: исключение короткоживущих промежуточных
продуктов химической реакции .......................... 273
6.6.2. Адиабатическое исключение в модели Хакена ............. 278
6.6.3. Адиабатическое исключение быстрых переменных: нелинейный случай .................................................. 283
6.6.4. Пример с произвольной нелинейной связью ............... 288
7. УПРАВЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ И СКАЧКООБРАЗНЫЕ ПРОЦЕССЫ ... 291
7.1. Управляющие уравнения рождения — гибели: одномерный случай .... 292
7.1.1. Стационарные решения .................................. 293
7.1.2. Пример: химическая реакция А" ^ А ..................... 295
7.1.3. Химическая бистабильная система ....................... 298
7.2. Приближенное представление управляющих уравнений уравнениями
Фоккера — Планка ............................................... 303
7.2.1. Приближение диффузионного процесса скачкообразным
процессом ............................................. 303
7.2.2. Разложение Крамерса — Мойала .......................... 307
7.2.3. Разложение ван Кампена по обратному размеру системы
[7.2] ................................................. 308
7.2.4. Теорема Курца ......................................... 313
524 Оглавление
7.2.5. Критические флуктуации ...................................
7.3. Граничные условия для процессов рождения — гибели...................
7.4. Среднее время достижения границы ...................................
7.4.1. Вероятность поглощения ...................................
7.4.2. Сравнение с уравнением Фоккера — Планка ..................
7.5. Многомерные системы рождения — гибели ..............................
7.5.1. Стационарные решения при наличии детального баланса ...
7.5.2. Стационарные решения в отсутствие детального баланса
(решение Кирхгофа) .......................................
7.5.3. Разложение по обратному размеру системы и аналогичные
разложения ...............................................
7.6. Некоторые примеры ..................................................
7.6.1. X +А * 2Х.................................................
