Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
3.8.5. Случайный телеграфный процесс ........................... 115
4. РАСЧЕТЫ МЕТОДОМ ИТО И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ........................................................... 118
4.1. Обоснования ..................................................... 118
4.2. Стохастическое интегрирование ................................... 120
4.2.1. Определение стохастического интеграла ................... 120
t
4.2.2. Пример j W(t')dW(t') .................................... 122
'о
4.2.3. Интеграл Стратоновича ................................... 124
4.2.4. Неупреждающие функции ................................... 124
4.2.5. Доказательство того, что dW(t)2 = dt и dW(ff+N = 0 ...... 125
522 Оглавление
4.2.6. Свойства стохастического интеграла Ито .................. 127
4.3. Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) ......... 132
4.3.1. Стохастическое дифференциальное уравнение Ито. Определение .......................................................... 132
4.3.2. Марковское свойство решения стохастического дифференциального уравнения Ито......................................... 135
4.3.3. Замена переменных. Формула Ито ......................... 135
4.3.4. Связь между уравнением Фоккера — Планка и стохастическим дифференциальным уравнением ............................... 136
4.3.5. Системы с несколькими переменными ...................... 137
4.3.6. Стохастическое дифференциальное уравнение Стратоновича ........................................................... 139
4.3.7. Зависимость решений от начальных условий и параметров 143
4.4. Примеры и решения ............................................... 144
4.4.1. Коэффициенты, не зависящие от х ........................ 144
4.4.2. Мультипликативный линейный белый шум ................... 145
4.4.3. Комплексный осциллятор с шумящей частотой .............. 146
4.4.4. Процесс Орнштейна — Уленбека ........................... 148
4.4.5. Переход от декартовых координат к полярным ............. 149
4.4.6. Процесс Орнштейна — Уленбека для случая многих переменных ......................................................... 151
4.4.7. Обшее линейное уравнение для одной переменной .......... 155
4.4.8. Линейные уравнения для многих переменных ............... 157
4.4.9. Процесс Орнштейна — Уленбека, зависящий от времени .. 158
5. УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА — ПЛАНКА ............................................. 160
5.1. Обшие замечания ......................... 160
5.2. Уравнение Фоккера — Планка в одномерном случае ......... 161
5.2.1. Граничные условия ...................................... 162
5.2.2. Стационарные решения однородных уравнений Фоккера —
Планка ................................................. 168
5.2.3. Примеры стационарных решений .................-......... 170
5.2.4. Граничные условия для обратного уравнения Фоккера —
Планка ................................................. 173
5.2.5. Методы собственных функций (однородные процессы) ....... 174
5.2.6. Примеры ................................................ 177
5.2.7. Время достижения границы для случая однородных процессов ......................................................... 181
5.2.8. Вероятность достижения того или иного конца интервала . 187
5.3. Уравнения Фоккера — Планка в многомерном случае......... 189
5.3.1. Замена переменных ...................................... 190
5.3.2. Граничные условия ...................................... 192
5.3.3. Стационарные решения: потенциальные условия ............ 193
5.3.4. Детальный баланс ....................................... 194
5.3.5. Следствия детального баланса ........................... 197
5.3.6. Примеры детального баланса в уравнениях Фоккера —
Планка ................................................. 203
5.3.7. Методы собственных функций для случая многих переменных. Однородные процессы........................................ 214
5.4. Время первого достижения границы области (однородные процессы) 219
Оглавление 523
