Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
432 Глава 9
мя подтверждаются строгими математическими рассмотрениями Шусса и Матковского [9.7] и др. Первое строгое рассмотрение было проведено Вентцелем и Фрейдлином [9.8]. Однако оно, по-видимому, не привлекло внимания прикладных исследователей, поскольку только со всей строгостью подтвердило оценки, которые уже давно были угаданы, но не содержало вывода точных асимптотических разложений, как это делалось в более поздних исследованиях.
Мы будем рассматривать ниже системы в /-мерном пространстве, описываемые уравнением Фоккера — Планка, которое удобно представить в следующей форме:
d,p = V-[-v{x)p + eD(x)-Vp\, (9.3.1)
Стационарное решение этого уравнения в большинстве случаев будем предполагать известным и обозначим его черезps(x). Его, разумеется, можно оценить асимптотически в пределе малых е с помощью метода разд. 6.3.3.
9.3.1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК ДОСТИЖЕНИЯ ГРАНИЦЫ
Мы будем рассматривать здесь только упрощенный вариант уравнения (9.3.1), в котором диффузионная матрица D{x) равна единичной матрице
D(x) = 1 . (9.3.2)
Это исключает из рассмотрения особенности, которые могут возникать из-за сильно меняющейся величины D, но результаты в большинстве своем при этом не сильно меняются, если D не вырождено.
Предположим, что система ограничена областью R с границей S и поле скоростей v (дг) направлено внутрь области к стационарной точке а. Наша задача заключается в асимптотическом расчете распределения точек b на границе S, через которые осуществляется выход из области R. Воспользуемся тем, что тг (Ь, х) — распределение точек b на S, достигнутых из начальной точки х, — определяется уравнением (5.4.49), которое в нашем случае имеет вид
v{x)-Vn(b, х) + еР2к(Ь, х) = 0 (9.3.3)
при граничном условии
к{Ь, и) = 5s(b — и) (и е S). (9.3.4)
Асимптотическое решение, справедливое при е — 0, строим, следуя методу Матковского и Шусса [9.7].
Бистабильность, мегастабильность и проблемы перехода 433
а) Решение вблизи точки х = и и во внутренней области R
Сначала конструируем решение, справедливое внутри области R. При е = 0 имеем уравнение
v(x)-Vn(b, х) = 0 , (9.3.5)
которое означает, что вероятность тг{Ь, х) не меняется вдоль линий тока !>(*), поскольку это уравнение просто констатирует, что значение производной от 7г (Ь, д:) вдоль этих линий, равно нулю. Так как мы допускаем, что все линии тока проходят через точку а, для любых точек д: внутри области R
тт(Ь, х) = л(Ь, а). (9.3.6)
Однако эта аргументация недействительна, если учесть, что v (а) = О, и, следовательно, уравнение (9.3.5) не является более подходящей аппроксимацией.
Рассмотрим поэтому решение уравнения (9.3.3) на расстоянии порядка Vi" от начала координат. Для этого мы введем новые координаты (г, v,), которые выберем так, чтобы координата г отсчитывала расстояние от точки а, в то время как уг представляли бы собой набор / - 1 тангенциальных координат, определяющих ориентацию вокруг точки а.
Более точно, выберем z(x) и^Дд:) так, чтобы v(x) • Fz(jc) = —z(jc)
v(x) ¦ Fyr(x) = 0 (9.3.7)
z(«) = 0 .
Отрицательный знак в первом из этих уравнений возникает из-за того, что точка а предполагается устойчивой, так что скорость v(x) направлена к точке а. Следовательно, z (*) возрастает по мере того, как точка д: удаляется от точки а.
Таким образом, для произвольной функции / мы находим
Vf = rz(x) | + 2 7yr(x) U , (9.3.8)
а следовательно,
дп Tz
v(x)-Vn=-z^ (9.3.9)
Р2л = Fz(jc) • Vz(x) |^+22 Vz{x) ¦ Гу,(х). 5 K
dz2 ~ *гУ dz дуг
+ P4.IW.III+ (9.3.Ю)
434 Г лапа 9
Найдем теперь функцию ж асимптотически, переходя к переменной ? измененного масштаба, которая определяется равенством
Подставляя (9.3.8 — 11) в уравнение (9.3.3), мы находим, что в низшем порядке по е
Так как величина Н положительна, это решение для ж согласуется с постоянством ж (Ь, х) вдоль линий тока при х Фа только при условии С; = 0. Следовательно, для всех значений х внутри области R
(Заметим, что, если скорость v (дг) направлена в другую сторону, а это соответствует неустойчивости точки а, нужно изменить знак в уравнении (9.3.9). При этом ж(Ь, дс) определяется выражением (9.3.13) при замене Н — —Н, и, следовательно, на расстоянии порядка Уе от точки а значение ж(Ь, х) существенно меняется.)
б) Решение вблизи границы S
Рассмотрим, имея в виду последующие применения, решение несколько более общего уравнения
(g(u) — известная функция). Граничная задача (9.3.4) является частным случаем последнего равенства. Имеются две возможности:
1) Нормальная составляющая вектора v (х) не равна нулю: w(x) Ф 0 на границе S или всюду в R, за исключением точки х = а, являющейся устойчивой. Видно, что при применении любого асимптотического метода граничное условие (9.3.15) несовместимо с постоянным реше-
