Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
9.2.3. БИСТАБИЛЬНОСТЬ, ОПИСЫВАЕМАЯ УПРАВЛЯЮЩИМ УРАВНЕНИЕМ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ РОЖДЕНИЯ — ГИБЕЛИ (СЛУЧАЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ)
Качественное поведение бистабильных систем, описываемых управляющими уравнениями для одноступенчатых процессов рождения — гибели, почти такое же, как и при описании с помощью уравнений Фоккера — Планка.
Рассмотрим одноступенчатый процесс с вероятностями перехода t+ (х), t ~ (х), при этом управляющее уравнение может быть записано в виде
Предположим теперь, что стационарное распределение имеет максимумы в точках а, с и минимум в точке b и, аналогично тому как это сделано в разд. 9.2.1, определим
Выполняя теперь в (9.2.34) суммирование от 0 до х — 1, получаем
dF^=J(x+ \,t)-J(x, О,
(9.2.34)
где
J(x, t) = t (х)Р(х, t) — t+(x— \)P(x— 1, t) .
(9.2.35)
M(x, 0 = 2 p(z. 0
(9.2.36)
ЪМ = 1 - Nc(t) = M(b, 0, а если точка xf) находится вблизи b,
N0(t) = P(x0, 0 •
Соответствующими стационарными значениями являются
(9.2.37)
(9.2.38)
па = 1 - «с = 2 РА2)
(9.2.39)
По = Ps(x0) ¦
(9.2.40)
(9.2.41)
430 Глава 9
поскольку У (0, 0 = 0. Используем теперь тот факт, что стационарное решение Ps(x) в одноступенчатом процессе находится из условия детального баланса
t~(x)Ps(x) = t+(x-1 )Р,(х-1), (9.2.42^
чтобы ввести «интегрирующий множитель» для уравнения (9.2.41). А именно: вводя
Р(Х, t) = Р(х, t)/P,(x), (9.2.43)
представим уравнение (9.2.41) в виде
= РХх)г(хтх, t) - р{х~ 1, 0], (9.2.44)
так что
d х°
Tt ?
Ш z=a+1
0 - Я«„ О - №. >)
Р'(г)Г(2)] (9.2.45)
= ^(^о’ 0 _ о Л(*о) Р*(а)
Уравнение (9.2.45) почти в точности совпадает по форме с уравнением (9.2.6) для соответствующего уравнения Фоккера — Планка. Оно основано на стационарном решении, полученном путем использования условия детального баланса (9.2.42).
Сделаем те же предположения, что и Крамере, а именно предположим, что существенна только релаксация между пиками, и запишем
Р(х, t) = P3(x)Na(t)lna х < Ь (9.2.46)
= P?x)Nc(t)lnc х > Ь ¦
При этом мы получим релаксационные уравнения, почти в точности
совпадающие с уравнениями (9.2.8):
K(x0)Na(t) = N0(t)/n0 - N„(t)lna M(x0)Nc(t) = N0(t)ln0 - Nc(t)/nc , где
к(х0) = ? [P?z)t-(z)]-'[ 1 — y/{z)\
t~a+ 1
U(x0) = ? [Psiz)r{z)]-l[ 1 - y/{z)\
t-XQ+l
И
^(z) = иг'ЕЛСу) Z <b
y=z
= «Г1 E Ps(y) г > b .
y=b+1
(9.2.47)
(9.2.48)
(9.2.49)
Бистабильность, метастабильность и проблемы перехода 431
Единственным существенным различием является то, что в правой части уравнения (9.2.8) фигурирует коэффициент D, а здесь вместо него появляется множитель t~{z)~x в определениях к(х0) и /x(v0).
Можно использовать те же приближения, что и раньше. Единственной трудностью при этом будет точная переформулировка предела D — 0 (теперь должен соответствовать пределу больших чисел, при котором все функции меняются плавно при х — х ± 1). Этот предел будет как раз пределом разложения по обратному размеру системы, в котором во всяком случае может быть использовано описание на основе уравнения Фоккера — Планка.
Мы не будем углубляться в детали, а просто отметим, что точные значения средних времен достижения границы можно получить с помощью метода из разд. 7.4. Приспосабливая методы из разд. 5.2.8 к этой системе, можно найти расщепленные вероятности того, что частица, первоначально находящаяся в точке х0, достигнет точек а или
с. Они равны
{ ± [Ps(z)t-(z)n I { ± [PAz)r(z)}-'}
г~хо+1 г”0+1 (9.2.50)
*с= { g [P,(z)t~(z)]-'} I { ± [P.(z)f-(z)n .
г=а+1 z=a+1
Таким образом, для всех практических случаев можно с тем же успехом использовать модельное описание на основе уравнения Фоккера — Планка. Редко известны точно все скрытые механизмы процесса, поэтому написание любого уравнения можно считать не более чем научной догадкой, а значит, чем проще уравнение, тем лучше.
9.3. БИСТАБИЛЬНОСТЬ В СИСТЕМАХ СО МНОГИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
Системы со многими переменными открывают перед исследователем широкий диапазон возможностей. Причем если система описывается посредством управляющего уравнения, то возможное многообразие типов переходов и пространства состояний оказывается настолько богатым, что это ставит исследователя в тупик: трудно себе представить, с чего начинать. Однако в разд. 9.2.4 мы видели, что описание посредством полного управляющего уравнения не очень сильно отличается от описания при помощи уравнения Фоккера — Планка. Поэтому кажется разумным ограничиться последним описанием, которое уже оказывается достаточно сложным.
Эвристические подходы к этим проблемам, развитые в основном физиками Лангером, Ландауэром и Свансоном [9.6], в настоящее вре-
