Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
где тга(х) определяется формулой (9.1.10).
Решение уравнения (9.1.22) можно получить непосредственным интегрированием, однако оно довольно громоздко. При этом способ расчета тот же самый, что и при получении (5.2.158), похожи и результаты. Даже случай, охватываемый выражением (5.2.158), в котором мы не различаем выходы вправо или влево, представляется очень сложным.
Для полноты изложения приведем выражение для среднего времени достижения точки а: г
пс(х) j dx'pXx'Y' ] n„(z)ps(z)dz-na(x) j dx'ps(x')~l ) na{z)p,(z)dz
T(a, x) = ----г----------2----------n . "----------1-----------i
Dna(x)
(9.1.24)
здесь тга(х) определяется формулой (9.1.10), a ps(z)— формулой
(9.1.2). Можно видеть, что даже в простейшей ситуации, а именно при
U(x)--\kxY (9.1.25)
Бистабильность, метастабильность и проблемы перехода 421
это выражение почти невозможно осмыслить, скорее всего здесь требуется асимптотическое рассмотрение. К счастью, в случае когда ps(z) имеет острый максимум в точках а и с и узкий минимум в точке Ь, задача сводится, по сути, к проблеме релаксации к точкам а и с с отражающим барьером в точке Ь.
Для того чтобы представить себе это, заметим следующее:
1) явное решение (9.1.10) для 7гд(х:) означает, что
па(х) ~ 1 (д: < Ь)
(* = Ь) (9.1.26)
= 0 (х>Ь))
и переход из 1 в 0 происходит на расстоянии порядка VZ>, т. е. ширины пика функции ps(x)~
2) в интегралах с подынтегральным выражением жa{z)p%{z) мы различаем два случая. Когда х' > Ь, приходим к оценке
] na(z)ps{z)dz =? nJ2 , (9.1.27)
а
b
где па = ) ps(z)dz есть вероятность нахождения частицы в левой по-
— оо
тенциальной яме.
Однако, когда х' < а, мы по-прежнему можем аппроксимировать тга(г) единицей и имеем
) na(z)ps{z)dz ~ J ps(z)dz = у - J p?z)dz . (9.1.28)
а а х'
Подставляя эти оценки в (9.1.24), получаем
Т(а, Ь) ~ D~l J dx'p^x)-1 J p?z)dz ] (9.1.29)
a xf
это не что иное, как точное среднее время достижения точки а из b при наличии отражающего барьера в точке Ь. Аналогично
Т(с, Ь) — D~l / dx'ps(x)~] J p?z)dz . (9-1 -30)
9.2. УСТАНОВЛЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ ЗАСЕЛЕННОСТЕЙ КАЖДОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЫ
Прежде всего предположим, что в начальный момент частица в системе находилась в левой потенциальной яме в некоторой точке с координатой Xj, так что
р(х, 0) = §(*-*,). (9-2.1)
422 Глава 9
Если коэффициент D очень мал, то время, требуемое для достижения центра барьера (точки Ь), очень велико, и для времен, малых по сравнению со временем первого достижения точки Ь, наличие ямы в точке с не будет оказывать никакого влияния. Таким образом, мы можем считать, что в точке b находится отражающий барьер.
Движение в пределах левой потенциальной ямы хорошо описывается разложением по параметру малости шума, и типичное время релаксации, таким образом, будет то же, что и при детерминированном движении. При аппроксимации
U{x) ~ U(а) + \U"(a)x2 ;
в системе будет происходить процесс Орнштейна — Уленбека с характерным масштабом времени порядка [U" (or)]-1.
Таким образом, мы предполагаем в описании наличие двух временных масштабов. За короткое время частица релаксирует к квазистаци-онарному состоянию в той яме, с которой она начала свое движение. Затем в крупномасштабной временной шкале она может перепрыгивать через максимум в точке Ь. При этом на больших временах устанавливается бимодальное стационарное распределение.
9.2.1. МЕТОД КРАМЕРСА
В 1940 г. Крамере [9.2] рассмотрел проблему достижения границы, изучая преобразование молекул. Он предложил уравнение, называемое теперь уравнением Крамерса (разд. 5.3.6а), в котором рассматривалось движение в потенциале U(x) с двумя потенциальными ямами. Он показал, что в случае, когда затухание велико, можно использовать уравнение Смолуховского в форме (6.4.18) и свести, таким образом, проблему достижения границы к задаче, которую мы теперь обсуждаем.
Метод Крамерса был переоткрыт и переформулирован много раз [9.3]. Мы изложим его здесь в форме, дающей довольно ясное понимание области его применимости.
Используя обозначения рис. 9.1, определим
М(х, t) = J dx'p(x', t) (9.2.2)
Na(0 = 1 - Nc(t) = M(b, 0
(9.2.3)
N0(t) = (c - a) p(x0, t).
Бистабильность, метастабильность и проблемы перехода 423
Далее, введем соответствующие стационарные величины
(9.2.4)
