Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Оно рассматривалось в разд. 5.2.7в. Время, требуемое частице, первоначально находившейся вблизи точки а, для достижения центральной точки b равно
Т(а — Ъ) = л[ | U"(b) | U"{d)Г1/2 ехр {[U(b) - U(a)]/D} (9.1.9)
(что составляет половину времени, требуемого частице для достижения точки потенциальной ямы справа от Ь). При D — 0 это время становится экспоненциально большим. Время, необходимое для того,
418 Глава 9
чтобы система достигла стационарного состояния, также становится экспоненциально большим. Поэтому вряд ли имеет смысл для таких времен искать решения в виде ряда по степеням Dl/Z.
9.1.4. РАСЩЕПЛЕННАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Предположим, что мы помещаем частицу в точку дг0. Какова будет вероятность того, что частица достигнет точки а скорее, чем точки с, или точки с — скорее, чем точки о? Эту задачу можно связать с проблемой выхода через один определенный конец интервала (разд. 5.2.8). Помещая поглощающие барьеры в точках .v = в и.г = с и используя результаты разд. 5.2.8, находим «расщепленные вероятности» тга и тгс достижения одной из точек а или с первой. Они определяются выражениями
ло(*0) = I dxp?x) 1 / | dxp?x) 1 . *о J L о
* г*о 1 Г с
Яс(*о) = I dxp?x)-' I J dx р?х)~'
(9.1.10)
(здесь коэффициент диффузии D не зависит от х). Расщепленные вероятности 7га и 7гс можно трактовать более широко как вероятности того, в какую потенциальную яму — левую или правую — свалится частица, первоначально находившаяся в точке х0, поскольку частица, достигшая, например, точки а, будет оставаться по эту сторону барьера в течение времени, равного по порядку величины среднему времени достижения точки Ь,
Рассмотрим теперь две возможные асимптотики выражений
(9.1.10) при D - 0.
а) Точка х0 находится на конечном расстоянии от b Оценим сначала интеграл
/ dx ps(x)~l = f dx exp [U(x)/D\. (9.1.11)
a a
Он определяется главным образом поведением потенциала при х ~ Ь. Правильную асимптотическую оценку получим, если положим
Щх) ~ U(b) - \ \и'\Ь)\ЦЬ - xf
(9.1.12)
Бистабильность, метастабилыюсть и проблемы перехода 419
При D — 0 пределы интегрирования х — а, с можно распространить до ± оо, после чего находим
jdxp3(x)-' ~ ЛГ-' Jj*? ехр [U(b)ID) . (9.1.13)
Предположим теперь, что х0 < Ь. Тогда интеграл j dxp~\x) можно
а
оценить с помощью подстановки
У=Щх) (9.1.14)
Обратную функцию обозначим х = fV(y). Интеграл асимптотически
равен
U(x0)
ЛГ-i J eyiD W'{y)dy~jr-' De^^W'iUixa)]
Г) e(Hx0)/D
= —-----------------
U\x о) '
(9.1.15)
Следовательно,
я ~ /ШШШ ехр (9.1.16)
с U'(x o)V 2к 1 I D \
Пт=1-Яс. (9.1.17)
Из этих выражений видно, что расщепленная вероятность зависит только от х0 и Ь. Таким образом, вероятность достижения точки с в этом пределе полностью определяется вероятностью перескока через барьер в точке Ь. При этом точки а и с практически бесконечно далеки друг от друга.
б) Точка х0 находится на весьма малом расстоянии от Ь Положим
х0 = Ь — у0 VI) . (9.1.18)
В этом случае мы можем сделать аппроксимацию (9.1.12) в обоих интегралах. Определяя, согласно [9.1],
erf(.v) = У А / dt е~'2, (9.1.19)
находим
лс = 1 - тг„ ~ i (1 — erl'[rov/| U"(b)\]} (9.1.20)
= i jl - erf [(A - x0)J>1"'^ j- (9-1.21)
420 Глава 9
Результат (9.1.21) мы получили бы, если бы заменили потенциал U(x) его квадратичной аппроксимацией во всей области.
в) Сравнение результатов, полученных для двух областей
Два разобранных случая приводят к различным результатам, и мы приходим к заключению, что простая линеаризация стохастического дифференциального уравнения (равносильная квадратичной аппроксимации потенциала U(x)) дает правильный результат, только в пределе больших D и в области величиной порядка VZ) вокруг максимума Ь.
9.1.5. РАСПАД НЕУСТОЙЧИВОГО СОСТОЯНИЯ
Среднее время, необходимое частице, помещенной в какую-либо точку потенциала U(х) для того, чтобы достигнуть той или другой ямы, можно измерить экспериментально. Если мы будем описывать такой процесс с помощью уравнения (9.1.1), то сможем точно рассчитать среднее время достижения точек а или с из точки Ъ, используя формулы разд. 5.2.8. Среднее время достижения точки а из Ъ является решением уравнения
-U'{x)dx[na{x)T{a, л-)] + Dd2x[na(x)T(a, х)] = -па(х) (9.1.22)
с граничными условиями
яа(а)Т(а, а) = ,т.(с)Т(а, с) = 0 , (9.1.23)
