Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
и будем рассматривать функции, зависящие от всех этих переменных * = {*,•) •
Обсудим способы обращения с функциями F(x) от этих ячеечных переменных. Определяя частные производные обычным образом, мы вводим формально функциональную производную с помощью соотношения
(8.1.16)
op(rt) /-*о ох(
В каком смысле этот предел существует, в большей части прикладной литературы остается совершенно неясным. Можно дать строгие определения; при этом, как всегда в вопросах, связанных с функционалами, важным является точное определение сходимости. «Очевидное» определение (8.1.16) в дальнейшем не используется.
Точная формулировка функционального исчисления не является целью этой книги, однако уместно будет показать, как обычно записывают такие уравнения. Мы можем формально определить функцио-
372 Глава 8
нальную производную при помощи (8.1.16) и сформулировать дискретный аналог стохастического дифференциального уравнения вида (8.1.12). Используя те же обозначения, получаем
В этом уравнении D~ — коэффициенты, дающие дискретную аппроксимацию оператора DV2. Функции F и g выбираются так:
Предположим более общий, чем (8.1.14), вид корреляционной функции, а именно
В этом случае уравнение Фоккера — Планка для набора переменных (x; J примет вид
Рассмотрим теперь предел /3 — 0. После некоторых преобразований получим
Плотность вероятности Р(р) является теперь функционалом. Чтобы записать условие нормировки для Р(р), требуется аккуратно определить вероятностную меру на пространстве функций р(г). Это можно сделать (см. [8.1]), однако обычно под уравнением (8.1.23) подразумевается в действительности дискретный вариант (8.1.22) и почти все вычисления также неявно дискретизируются.
Разумеется, такая ситуация неудовлетворительна. Формально-математически существование стохастических дифференциальных уравнений в частных производных и их решений установлено, однако в качестве повседневного расчетного инструмента они не используются.
dx, = Е DijXj + F(x,)] dt + X gtidWj(t) . ‘ j
(8.1.17)
P[p{r„ 0] = lim Fix,)!-3
(8.1.18)
g(r„ t) = lim / 31] g„dWj(t). /-0 j
(8.1.19)
<g(r, t)g(r', 0> = G(r, r'M - n , и потребуем, чтобы
(8.1.20)
G(r„ rj) = lim l ~6 ? gtkgJk . /-0 к
(8.1.21)
(8.1.23)
Пространственно-распределенные системы 373
За дальнейшей информацией по математическим вопросам мы отсылаем читателя к книге [8.1]. Однако в большинстве случаев мы будем излагать материал непосредственно в дискретной форме, используя континуальные обозначения просто для упрощения записи.
8.2. ОПИСАНИЕ ПРИ ПОМОЩИ МНОГОМЕРНОГО УПРАВЛЯЮЩЕГО УРАВНЕНИЯ
8.2.1. ДИФФУЗИЯ
Мы предполагаем, что все пространство разбито на кубические ячейки с линейным размером / и объемом AV. Эти ячейки помечаем индексом /, а число молекул химического вещества А' внутри ячейки с номером i обозначаем через xt. Далее введем многомерное распределение вероятностей
Р(х, О = />(*„ ... ,/) ее Р(х„ ?, 0 . (8.2.1)
Вектор х в последнем из этих выражений обозначает совокупность всех х, кроме тех, которые выписаны явно.
Мы можем моделировать диффузию марковским процессом, в котором молекула перескакивает из ячейки с номером / в ячейку с номером j с вероятностью в единицу времени dijxi; это значит, что вероятность перехода пропорциональна числу молекул в ячейке. При строго локальном описании мы ожидаем, что величины d^ будут отличны от нуля только для соседних ячеек / и j. Однако в общем случае это не так, и в дальнейшем мы этого предполагать не будем.
Мы можем теперь записать управляющее уравнение для процессов рождения — гибели в обозначениях разд. 7.5, полагая
ЛГ</.у> = (0 • . о, i j
1, 0, . .. 0, 0, 0,
M“.J> = (0. . 0, 0, 0, . .. 0, 1, 0,
ги,л = (0 • .0, -1, 0, . .. 0, 1, 0,
1с+ = dt)
ки.л = 0 .
kuj)
(8.2.2)
При этом получаем управляющее уравнение вида д,Р(х, 0 = 2 dij[(xi + 1 )Р(х, х, -г 1, Xj — 1,0 — xtP(x, О] • (8.2.3)
Это простое линейное управляющее уравнение, которое можно решить различными методами.
374 Глава 8
Заметим, что, поскольку
(8.2.4)
N(IJ) = M(J-° ,
мы можем ограничиться значениями индексов i > j и положить kqj) = dp. Из формул (7.5.15, 18) мы видим, что условие детального баланса в этом случае выполнено, если
dij(x,)s = • (8.2.5)
В системе, в которой происходит диффузия, стационарное решение однородно, т. е. <xi)s = <Л)>5. Таким образом, условие детального баланса принимает вид
dtJ = dJt . (8.2.6)
При этом уравнение (8.2.3) имеет стационарное решение в виде многомерного распределения Пуассона.
