Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пространственно-распределенные системы 369
Простейшими из таких уравнений являются уравнения, описывающие химические реакции с учетом диффузии, исследование которых составляет основное содержание настоящей главы. Для наглядности рассмотрим вначале описание временной эволюции концентрации химического вещества р при помощи уравнения Ланжевена. При этом классическое уравнение химической реакции с диффузией можно вывести следующим образом. Предположим в соответствии с законом Фи-ка, что диффузионный поток j(r, t) имеет вид
j(r,t)=-DVp(r,t). (8.1.1)
В отсутствие химических реакций этот поток входит в уравнение непрерывности, ибо полное количество химического вещества в произвольном объеме V может меняться только вследствие его переноса через границу S объема V. Обозначая полное количество вещества в объеме V через N, имеем
li = i ld3f p(f’ t)=~ [dS-j(r>0 (8-1.2) = - \dhV-j(r,t).
V
Поскольку объем V произволен, отсюда следует
д,р(г, t) + V-j{r, t) = 0 . (8.1.3)
Подставляя в это уравнение закон Фика (8.1.1), получаем уравнение диффузии
д,р(г, 0 = DV1p(r, 0 . (8.1.4)
Как же теперь добавить сюда флуктуации? Прежде всего заметим, что уравнение непрерывности (8.1.3) является точным (это следует из его вывода). Мы не можем добавить к этому уравнению флуктуацион-ный член. Однако можно модифицировать закон Фика, добавляя в выражение (8.1.1) источник флуктуаций и переписывая его в виде
J(r, О = —DV p(r, t) + fd(r, t), (8.1.5)
raefd(r, t) — векторный ланжевеновский источник. Проше всего предположить, что он обладает следующими статистическими свойствами:
(Ur 0> = О
</d.i(r, /')> = Кл(г, 1)д,Дг - r'Mt - О,
(8.1.6)
370 Глава 8
Таким образом, различные компоненты вектора /d(r, t), взятые в один момент времени в одной точке пространства, а также все значения /d(r, t) в различные моменты времени, в разных точках пространства предполагаются независимыми, что означает локальность флуктуаций. Флуктуационное уравнение диффузии принимает тогда вид
д,р(г, t) = DV2p{r, 0-F-/d(r, 0- (8.1.7)
Заметим, что
<У-fir, 0P'-/d(r', t’)> = V ¦ V'[KJjr, t)8(r - f')]5(/ - t') . (8.1.8)
Теперь включим в рассмотрение химическую реакцию. Закон Фика применим и в этом случае, но уравнение непрерывности следует заменить на уравнение вида
~ J d3r р(г, 0 = - J dS-j(r, t) + J d3r F[p(r, 0], (8.1.9)
(It Ul у S у
где F[p (r, ?)] — функция концентрации, представляющая производство химического вещества в локальной химической реакции.
Из уравнения (8.1.9), не учитывая пока флуктуаций, находим
д,р(г, t) + V j(r, t) = F[p(r, 0] (8.1.10)
Производство химического вещества в химической реакции обязательно порождает флуктуации, поэтому мы можем добавить к уравнению (8.1.10) член/с(г, t), который удовлетворяет соотношениям
</с(г, 0) = 0
</=(', t)Ur', О) = Kir, t)8(r - r')5(t - О (8.1.11)
выражающим свойства локальности (некоррелированность флуктуаций в различных точках) и марковости реакции (дельта-коррелирован-ность во времени). Полное уравнение химической реакции с диффузией принимает теперь вид
д,р(г, 0 = DV2p{r, t) + F[p(r, 0] + g(r, t),
(8.1.12)
где
Sir, t) = -V-fJj, t) +/c(r, t) (8.1.13)
<g(r, t)g{r', 0>= {^c(r-r')5(r-r')+F- V.'[KA(r, 05(r-r')]} 5(t-1').
(8.1.14)
Пространственно-распределенные системы 371
Простейшая процедура получения уравнения Ланжевена для классического уравнения реакции с диффузией приводит к довольно сложному выражению (8.1.14). Кроме того, мы ничего не знаем о функциях Кс(г) или АГ„(г), и сама процедура основана на весьма эвристических моделях.
Тем не менее форма выведенного уравнения по существу правильна, так как она согласуется с результатами, следующими из более микроскопического подхода, основанного на использовании управляющих уравнений. Однако последний подход позволяет определить все введенные произвольные константы.
8.1.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА — ПЛАНКА
Записывая стохастическое дифференциальное уравнение типа (8.1.12), мы тотчас же задаемся вопросом, как выглядит соответствующее уравнение Фоккера — Планка. Это должно быть дифференциальное уравнение в частных производных для функции, зависящей от континуального числа переменных р (г), где г — непрерывный индекс, помечающий различные переменные. Наиболее простой способ определения функциональных производных состоит в следующем. Прежде всего разобьем все пространство на кубические ячейки с линейным размером /, помеченные индексом г, положение центра которых в пространстве задается векторами гг Введем переменные
X, = l3p(rt) (8.1.15)