Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
(7.7.151)
lim [<M0 — yVoWyii* — *o)] = сМО]3 ,
а все высшие порядки дают нулевой вклад. С использованием рассуждений, аналогичных проведенным в разд. 3.4, этого достаточно, чтобы показать, чтоу(/) есть обобщенный диффузионный процесс, обобщенное уравнение Фоккера — Планка для которого имеет вид
Моменты высших порядков без труда вычисляются из моментов для dV(t). Независимость приращений означает, что, как и в случае с интегралом Ито, интегралы, имеющие в качестве верхнего предела особенность в виде дельта-функции, должны приниматься равными нулю.
Пример использования шума третьего порядка. Рассмотрим химический процесс
(7.7.152)
Определим источник шума как
dV(t) = ((t)dt,
(7.7.153)
где
<С(0> = <С(0С(О> = о
(7.7.154)
(Щ)Щ')Ш")> = 5(/ - t')b(t' - t") .
(7.7.155)
А + 2Х^ ЗХ
кг
(7.7.156)
^3
А^Х
Л'4
366 Глава 7
для которого УФП в представлении Пуассона имеет вид
= — S' $Ci V 'or2 — kzV V + k3V — K4a)f(a, t)\ dt да
+ у — K2V~2a3)f(a, /)]
- зу^з [Ь(кху-'аг — к2У~га3)/(а, ?)] ,
(7.7.157)
где к1 V~1 = kxA, k2V'2 = k2, k3V - k3, k4 - k4.
В стационарном состоянии (7.7.157) сводится к линейному дифференциальному уравнению второго порядка, которое может быть разрешено в гипергеометрических функциях, а асимптотические разложения для моментов могут быть получены методом скорейшего спуска. Эта процедура , хотя и возможная в принципе, не всегда удобна. Именно в таких случаях метод, основанный на стохастических дифференциальных уравнениях, оказывается очень полезным благодаря простоте его применения.
СДУ, эквивалентное (7.7.157), имеет вид
dtj(t)ldt = Ktfit)1 — ку/(03 -t- — Ktfit)
где a = -qV, ц = V~‘/6, а шумовой источник ?(?), далее именуемый «шумом третьего порядка», определен в (7.7.153 — 155).
Уравнение (7.7.158) может быть решено итерационным методом с использованием разложения
= >7о(0 + А3>7э(0 + /Л/4(0 + И6Пб( О + M*>1s(t) + + ••• ,(7.7.159)
которое после подстановки в (7.7.158) дает в низшем порядке детерминистическое уравнение, а в более высоких — линейные стохастические дифференциальные уравнения, которые решаются методами разд. 6.2.
Для стационарного случая получаются следующие результаты:
+ а3{4[^(02-^(03]}1/2«0 + ^{б[^(02-^(03]},,3«0.
(7.7.158)
С*) — УПо + <776> + ••• — Vt]0 + + ....
(7.7.160а)
<х2> - <*2> = V(t]f) + [2<?79?7з> + 2<?78?74> + (nl) - (Пв>2 + (Чв>] +
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 367
<(х - <*»э> = K[<i/i> - 3<7з2><76> + 3<7з2) + <7о> + ... "8а 12 а2Ь
= V
с3 1 *>.
(7.7.160b)
где а - - /c2ijq, b = 2к1 - 3k2tjq, с - к4 - 2/c,r/0 + 3k2tj2, a т?0 есть
решение стационарного детерминистического уравнения
«¦i7o — K2rjl + к3 — а:470 = 0 . (7.7.161)
Здесь следует сделать кое-какие замечания. Шум третьего порядка дает вклад О (V~ ’) в среднее значение, и вклад 0(1) в дисперсию, но вклад О(У) в коэффициент асимметрии. Если нас интересуют среднее значение и дисперсия с точностью до 0(V), то можно пренебречь шумом третьего порядка в (7.7.158) и проводить разложение по степеням е = V~1/2. Заметим также, что при с — 0 дисперсия и поправки высших порядков расходятся. Разумеется, это связано с тем, что в этом пределе поведение системы соответствует фазовому переходу первого рода.
8
Пространственно-распределенные системы
Системы с химическими реакциями и диффузией, рассматриваемые в этой главе, — прототип огромного множества пространственно-рас-пределенных систем, встречающихся в природе. Мы начнем изложение с эвристического введения в предмет, исходя из уравнений Ланжевена для переменных, зависящих от пространственных координат. Однако такое рассмотрение является недостаточным, поэтому мы перейдем к более удовлетворительному описанию на основе многомерного управляющего уравнения. При этом уравнения Ланжевена получаются в результате приближения, которое основано на разложении по обратному размеру системы. Будет показано также, как на основе представления Пуассона можно вывести подобные уравнения Ланжевена, не используя какого-либо приближения.
Далее мы рассмотрим следствия таких уравнений, а именно пространственно-временные корреляционные структуры, которые могут возникать (главным образом вблизи точек неустойчивостей). Затем покажем, как связаны между собой локальное и глобальное описания флуктуаций. Глава заканчивается рассмотрением систем, описываемых распределением в фазовом пространстве, т. е. в пространстве координат и скоростей. Исследование таких систем проводится на основе управляющего уравнения Больцмана.
8.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Понятие пространства занимает центральное место в нашем понимании мира главным образом потому, что объекты, отделенные большим расстоянием, не так сильно влияют друг на друга. Это ведет к детерминистическому макроскопическому описанию мира с помощью таких локальных величин, как плотность, концентрация, температура, потенциалы электромагнитного взаимодействия и т. д. При детерминистическом описании обычно полагают, что эти величины подчиняются дифференциальным уравнениям в частных производных, таким, как уравнения Навье — Стокса в гидродинамике, уравнения химических реакции с учетом диффузии или уравнения Максвелла в классической электродинамике.
