Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
В случае 5 < 0 стационарная точка лежит вне интервала [0, к2А/к4], и точка, изначально находящаяся на этом интервале, будет двигаться, подчиняясь уравнению (7.7.67), пока не достигнет правого конца интервала. Здесь шум обратится в нуль, а снос продолжает вести точку вправо. После выхода точки за пределы интервала шум становится мнимым, и точка будет двигаться по траектории, подобной изображенной на рис. 7.4, пока не вернется обратно на интервал [0, к2А/к4].
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 351
Рис. 7.4. Траектория точки, движение Щ
которой подчиняется стохастическому Р
дифференциальному уравнению (7.7.67). /
Случай 5 = 0 не слишком отличается от предыдущего: по достижении правого конца интервала в нуль обращаются как шум, гак и снос, и точка остается здесь.
Для системы
где а = rjV и ? = V~x/1.
СДУ (7.7.69) может моделироваться на ЭВМ, что позволяет получить график движения на комплексной плоскости г> (см. рис. 7.5). Видно, что точка остается вблизи Re (а) = (а/2)1/2 и флуктуирует в основном в обе стороны параллельно мнимой оси, вследствие чего дисперсия а оказывается отрицательной.
7.7.5. ВРЕМЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
Временная корреляционная функция для пуассоновской переменной а отличается от таковой для переменной х. Это можно видеть на примере реакции X >=> Y, для которой УФП в представлении Пуассона не
В-Х 2Х — А
СДУ, вытекающее из УФП (7.7.41), имеет вид drjjdt = кi — 2кгпг + ie(2ftr2) V1r]c(t),
(7.7.68)
(7.7.69)
Рис. 7.5. Траектория точки, движение которой описывается стохастическим дифференциальным уравнением (7.7.69).
352 Глава 7
содержит диффузионного члена. Пуассоновская переменная, следовательно, не флуктуирует. Здесь мы покажем, какая связь существует между указанными корреляционными функциями. Для ясности рассуждения будут проведены лишь для случая одной переменной. Определим
(a(t)a(s)} = J dn{a)d[i{a')aaf{a, 11 a', s)f(a’, s) . (7.7.70)
Заметим, что f{a,s\a, s) = 5 Дог — a)
где Ьи{а) — дельта-функиия, соответствующая мере /х(а). Это значит, что
j dfi{a) е_“(огх/л:0/(а, •*) = е~а'а'х/х\ ,
откуда
J dn(a) af(a, t\a, s) = 2 xP{x, 11 x’, s)z~a’(a’Y /x’ !. (7.7.71)
X, xf
Следовательно,
<a(0«(j)> = X xP{x,t\x’, s) J dji(cx )(a x>"1 c~a'!x'l)f(a', s) .
x, xf
= T>xP(x, tlx', s) J Ф(ог') + ^j((«?'e"’/X' !)jf(u', s)
= S x x'P(x, 11 x', s)P{x', s) (7.7.72)
X, x'
— J dfi{a')f(a, s)a' ~ J^ xP(x,t\x', s)((a' >' e ' x!). (7.7.73)
По определению,
<«(f )1 [«', s]) ее { da af(a, 11 a', s) (7.7.74)
как среднее a(t) при начальном условии для а' в 5. Тогда второй член можно записать в виде
- J dfx(a')a' ~ <fl{t) | [a, s]}f{a', s) = - (a' (ait) \[а', s]>) , (7.7.75)
откуда
<*0).ф)> = <a(0aC*)> + (ос ^ (a<J)\W , s\>) . (7.7.76)
Переходя к случаю многих переменных и учитывая, что всегда <*(')> = <«(')>,
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 353
получаем
(7.7.77)
Эта формула явно отражает тот факт, что представление Пуассона определяет процесс, тесно связанный с уравнением рождения — гибели, но не изоморфный последнему. Интересующие стохастические величины, такие, как временные корреляционные функции, все могут быть рассчитаны, причем они не выражаются непосредственно через соответствующие величины для пуассоновской переменной
а) Интерпретация на языке статистической механики
Здесь у читателя предполагается знакомство со статистической механикой химических систем. Если мы рассматриваем систему, состоящую из химически реагирующих компонентов А, В, С, ... , то функ-
Логично функцию /(а, t la', s), входящую в предыдущие равенства, определить обычным образом при помощи двувременной функции:
/(а, I; а', s) = f(a, t la', s)f(a’, s), (1)
причем двувременная функция определяется равенством
Если здесь положить f(y, s) = 6 (7 — а'), то получим (7.7.71). Однако нужно отметить, что равенства (7.7.71 — li) несправедливы (в случае определения (1), (2)) при функциях /(7, s), отличных от дельта-функции. Из (2) легко получить равенство <x(t)x(s)) = (a(t)a(s)), противоречащее (7.7.77).
Из (3) видно, что /(a, /17, s) оказывается зависящей от /(7, s), что свидетельствует
о немарковском характере процесса а(/). В самом деле, в предположении независимости от функции /(7, s) после подстановки/(7, s) = >р(у)/ ]tp(a)da и варьирования по tp(a) из (3) получаем Р(х, r\x’, s) = jdn(ct)e~a(с?/x\)f(a, /17, 5-). Это равенство обсурдно, так как его правая часть не зависит от х’, а левая от у = а'. — Прим. ред.
