Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
7.7.4. ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПУАССОНА
Здесь мы рассматриваем а как комплексную переменную ах + \ау, dfx(oi) = d2a = daxday , (7.7.46)
а 3> — это вся комплексная плоскость. В разд. 10.6.3 мы покажем, что для любой Р(х) существует положительная /(а), такая, что
Р(х) = | d2a (e~aa*/x!)f(a) ; (7.7.47)
таким образом, всегда существует положительное представление Р, которое, однако, не однозначно. Выберем, к примеру,
f„(a) = (2па2)~1 ехр (- | а - а012/2сг2) . (7.7.48)
Заметим, что если g(а) — аналитическая функция а, то можно записать
Я(а)=г(во) + |]г<")(а«0(а-ао)"/л! ¦ (7-7.49)
1
Подставляя это равенство под знак интеграла, легко убедиться, что справедливо тождество
J (2na2)~ld2a ехр (— | а — а0 \ 2j2a2)g(a) = g(a0) , (7.7.50)
348 Глава 7
поскольку
§.(л)(а0)(ехр(— 1а - а012/2ст2)(а — a0)V2a = 0 при п ^ 1,
Распределение Пуассона e~aax/xl является аналитической функцией от а, поэтому его можно взять в качестве g(а) и вследствие (7.7.50) получить
Из (7.7.51) видим, что функции fp(a) и /(а) = <5(а — а0) дают одно и то же распределение Р(х).
На практике эта неоднозначность является скорее достоинством, чем недостатком.
а) Уравнения Фоккера — Планка
Воспользуемся аналитичностью распределения Пуассона и его производящей функции, чтобы вывести уравнения Фоккера — Планка с положительными матрицами диффузии. УФП вида (7.7.9) возникает из уравнения для производящей функции
Учтем теперь в явном виде тот факт, что а является комплексной переменной
Рр(х) ш {d2afp{a)z-'-‘an/x\ = е а°а*/х! .
(7.7.51)
а = ах + ту и запишем также
(7.7.53)
Л(а) = Лх(а) + iAy(a). Далее,
В(а) = С(а)СТ(а)
(7.7.55)
(7.7.54)
и
С(а) = CJia) + \С,(а) .
Для краткости введем обозначения
(7.7.56)
8
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 349
Благодаря аналитичности ехр (?(sa- в уравнении для произ-
а
водящей функции (7.7.52) мы всегда можем сделать замену
Э„«-Э; ~ — i3z. (7.7.58)
Подставим теперь вместо ВаЬ формулу (7.7.54) и заменим да на дх0 или
— id? сообразно с тем, какой индекс стоит при А или С. Получаем
d,G(s, 0=J d2af(a, 0{Е (Аа.хд* + Аа;удуа)
+ i S (С„,с;хСс ь.хдхд^ + С,,,с-,уСС'Ь.'Удуадь
о, Ь, с
+ 2Са,с.хСс,ь.удхад1) ехр [XI (^ ~ 0«J} • (7.7.59)
а
Интегрируя по частям и отбрасывая поверхностные члены, приходим к УФП относительно переменных (av, a^):
dj(a, t) = [-? (Аа,Л; + Аа,уду) + i 2 (Са,с.'ХСсМхд*Л
а,Ь,с
+ Са,с;у(- С.Ь-.уОадь + 2С0| с,хСс )]/(«! t) .
(7.7.60)
В пространстве удвоенной размерности это уравнение является УФП с положительно полуопределенной диффузией. Действительно, для переменных (av, о ) вектор сноса есть
s/{a) = [Ах{а), Ау(а)] , а матрица диффузии —
#(«)
СУС1
CXCJ
CyCl
т«ж<*г
где
#(«)
сх
(7.7.61)
(7.7.62)
(7.7.63)
и матрица л’(а) с очевидностью является положительно полуопределенной.
б) Стохастическое дифференциальное уравнение
Если снос и диффузия определяются выражениями (7.7.61, 62), мы имеем стохастическое дифференциальное уравнение
daJ ГАх(а) 1 ГС^ЩО'
— dt ¦ day\ Cyd fV(t)
(7.7.64)
350 Глава 7
где W(t) есть винеровский процесс той же размерности, что и ах. Заметим, что в обеих строках винеровский процесс один и тот же, так как матрица (7.7.63) содержит два нулевых элемента.
Объединив действительные и мнимые члены, получим СДУ для комплексной переменной а:
da = A(a)dt + C(a)dW(t). (7.7.65)
Разумеется, в точности это же СДУ получилось бы в результате применения обычных правил для преобразования уравнения Фоккера — Планка в стохастическое дифференциальное уравнение к УФП в представлении Пуассона (7.7.9), несмотря на то что С(а) в используемом виде могла бы содержать комплексные элементы, если бы В не была положительно полуопределенной матрицей диффузии.
в) Примеры стохастических дифференциальных уравнений на комплексной плоскости
Рассмотрим вновь реакции (см. разд. 7.76)
кг
А + X ^ 2Х
к4 (7.7.66)
к\
В+ X 5==S С . к 2
Использование положительного представления Пуассона в применении к этой системе дает нам СДУ, вытекающее из УФП (7.7.16):
da = [к, С + (кгА - кхВ)а - k,a2]dt +[2{кгАа - k,a2)]ll2dW(t) . (7.7.67)
В случае 6 > 0 мы замечаем, что шумовой член обращается в нуль в точках а = 0 и а = к2А/к4, положителен между этими точками, а снос таков, что точка а, достигая концов интервала, возвращается внутрь него. Таким образом, при 6 > 0 выражение (7.7.67) представляет собой действительное СДУ на действительном интервале [0, к2А/к4].