Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
— к4а2) положителен. Детерминированное среднее а, определяемое равенством
лежит внутри интервала (0, к2А/к4). Таким образом, мы имеем дело с истинным УФП, a fs(a) обращается в нуль на обоих концах интервала и имеет пик вблизи детерминированного устойчивого состояния.
2) 5 = 0. Поскольку обе реакции теперь порознь уравновешены, мы можем ожидать существование пуассоновского стационарного состояния. Заметим, что fs(a) в этом случае имеет полюс при а = к2А/к4, и в качестве области изменения а выберем контур на комплексной плоскости, охватывающий этот полюс. Поскольку контур замкнут, при интегрировании не возникает граничных членов, и Ps(x), полученная в результате выбора этого вида представления Пуассона, с очевидностью удовлетворяет управляющему уравнению для стационарного со-
(7.7.34)
(7.7.35)
С
а =
кгА - к,В + [(М - к.В)2 + 4к3к4С]112 2К
(7.7.36)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 345
стояния. С помощью теории вычетов можно показать, что
(7.7.37)
где
а0 = к2А/кА .
3) 5 < 0. Здесь мы сталкиваемся с очень интересными явлениями. Стационарное решение (7.7.22) уже не удовлетворяет условию 8 > 0. Если, однако, в качестве области изменения а выбирается контур С на комплексной плоскости (рис. 7.3), и мы пользуемся комплексным представлением Пуассона, то Ps(x) в виде
является решением управляющего уравнения. Детерминированное стационарное состояние теперь достигается в точке на действительной оси справа от сингулярности а = к2А/кА, и асимптотические оценки средних значений, моментов и т. п. могут быть получены путем такого выбора С, чтобы этот контур проходил через седловую точку. Сделав это, мы найдем, что дисперсия а, определенная как
Это означает, что стационарное состояние уже, чем распределение Пуассона. Следует, наконец, заметить, что все три случая можно получить из рассмотрения контура С. В случае, когда 5 = 0, разрез из сингулярности а = к2А /к4 в — оо исчезает, и контур С можно превратить в простой контур вокруг полюса, в то время как при 8 > 0 сингулярная точка а = к2Л/к4 становится интегрируемой, так что контур можно стянуть на разрез и рассматривать интеграл как разрыв-
Р,(х) = \daUaf~lf
с XI
(7.7.38)
D {«} = <а2> - <*>2,
(7.7.39)
отрицательна, так что
D {х} = О2) - <»2 = <а2> - <«>2 + <а> < <л-> .
(7.7.40)
Рис. 7.3. Контур С на комплексной плоскости для отыскания (7.7.38).
346 Глава
ный интеграл на интервале [0, к2Л/к^. (Когда Ь является положитель ным целым числом, эти рассуждения следует видоизменить.)
к. | к 2
б) Пример: реакции В — X, IX — А Уравнение Фоккера — Планка имеет вид
где kxV = k2V~1 = k2; V — объем системы. Заметим, что коэф-
фициент диффузии в вышеприведенном УФП отрицателен на всей вещественной оси.
Потенциальное решение (7.7.41) есть (с точностью до нормировочного множителя)
где а = 2к2/к,, а интегрирование по а должно осуществляться вдоль замкнутого контура, охватывающего начало координат. Разумеется, в принципе существует и другое решение, получаемое из полного рассмотрения стационарного УФП. Лишь потенциальное решение однозначно и позволяет нам выбрать подходящий контур, вдоль которого возможно интегрирование.
Итак, принимая а = rjV, получаем
Vr f dneyi2’>+al”)nr-2 <х'у'- ' ("'43> Функция (2tj + а/r)) не имеет максимума в детерминированном стационарном состоянии. На самом деле, в детерминированном стационарном состоянии она имеет минимум: rj = +{а/2)1/2. На комплексной плоскости г] эта точка, однако, является седлом и дает преобладающий вклад в интеграл.
Таким образом, отрицательность коэффициента диффузии в (7.7.41) проявляется в появлении точки типа седла в детерминированном стационарном состоянии, из-за чего дисперсия X оказывается меньше (х).
Формула (7.7.43) позволяет вычислить все точные моменты стационарного состояния; результат имеет вид
/(а) = а 2 ехр (2а + a V2ja) ,
(7.7.42)
(7.7.44)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 347
где 1Д2(2а)1/2К) — модифицированные функции Бесселя. Используя для них разложение по большому аргументу, получим
<*> = V(aj2)lil + | + 0(1/V)
^ (7.7.45)
DW = JW'!-i+0(l/F).
Эти асимптотические результаты могут быть также получены путем непосредственного применения метода скорейшего спуска к интегралам (7.7.43). В общем случае этот вид разложения всегда можно осуществить после того, как найдена явная зависимость объема от параметров.
в) Достоинства метода
Комплексное представление Пуассона дает стационарные решения в аналитической форме, удобной для использования как точных, так и асимптотических методов. Для решений, зависящих от времени, этот метод не столь полезен. Наибольшие достоинства, впрочем, открываются в случае исследования квантовомеханических систем, где комплексные представления позволяют получить информацию, не достижимую никаким иным способом. Об этом мы будем говорить в гл. 10.
