Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Это значит, что мы можем записать
Р(х) = { Ja(e-V/*!)[V(-l^P(>))5>'(a)ea] , (7.7.21)
У
так что в формальном смысле для любой Р(х) можно всегда подобрать /(а).
В нормальной ситуации приведенное здесь довольно замысловатое выражение обычно не возникает, поскольку, к примеру, мы можем найти стационарное решение УФП (7.7.16) как потенциальное решение (с точностью до нормировки)
/s(a) = еа(к2А — к4аУк1В/к* кгС1кгА ^акъС1кгА 1 (
(7.7.22)
342 Глава 7
что представляет собой более или менее гладкую функцию. Отождествление с вероятностью, однако, возможно лишь в том случае, если /5(а) неотрицательна и нормируема.
Если определить
<5 = (КВ/к, - k}C[kzA), (7.7.23)
то /5(а) нормируема на интервале (0, к2А /кА) при условии, что <5 > 0 (7.7.24)
кз > 0.
Очевидно, къ по определению положительно.
Далее следует убедиться в том, что при интегрировании по частям при получении УФП (7.7.4) при указанных условиях поверхностные члены пропадают. Для интервала (а, Ь) поверхностные члены, которые возникнут в случае реакции (7.7.14), могут быть записаны в виде
[{(кгАа - кУ - к,Ва + к,C)f- дШг<* - Ka2)f]) {^)а}Уь
+ [(кга - k<a*)f[(s - Ое'-1’"]]?. (7.7.25)
Из-за наличия дополнительного множителя (s — 1) во второй строке каждая строка независимо обращается в нуль. Легко проверить, что на интервале (0, к^А/к^ каждый член обращается в нуль на каждом конце интервала для/, определенной в (7.7.22), при условии, что 6 и къ больше нуля.
Если к3 и 6 положительны, то мы получаем УФП, истинно эквивалентное стохастическому дифференциальному уравнению
da = [к3С + (к2А — kiB)a — kta2]dt + 2(кгАа — k4az)dW(t). (7.7.26)
Движение происходит на интервале (0, к2А/к4), и обе границы удовлетворяют критериям для входных границ. Это означает, что система не может покинуть интервал (0, к2А/кА) (см. разд. 5.2.1).
Если хотя бы одно из условий (7.7.24) нарушено, то вектор сноса уводит точку за пределы интервала (0, кгА/к4). Например, вблизи а = 0 мы имеем
da - кгС dt , (7.7.27)
и если к}С отрицательно, то а переходит в область отрицательных значений. В этом случае коэффициент при dW(t) в (7.7.26) становится мнимым и интерпретация результата без дополнительных пояснений оказывается невозможной.
Разумеется, если рассматривать СДУ как уравнение для комплексной переменной
а = ах + \ау , (7.7.28)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 343
то оно вовсе не лишается смысла, а просто представляет собой теперь уже пару уравнений для переменных ах и ау. Однако соответствующее УФП — это не уравнение (7.7.16) для одной переменной, а уравнение для двух переменных. Такое УФП можно вывести, используя различные варианты представления Пуассона, к которым мы сейчас и перейдем.
7.7.1. РАЗНОВИДНОСТИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ПУАССОНА Рассмотрим одномерный случай и запишем
Здесь д (а) есть мера, которую можно выбрать одним из трех способов, и каждый из этих путей приведет к полезному результату; 3 обозначает область интегрирования и может принимать различную форму в зависимости от выбора меры.
7.7.2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПУАССОНА Здесь мы выбираем
и в качестве В берем отрезок действительной оси. Как отмечалось в рассмотренном примере, это представление существует не всегда, но когда оно существует, возможна простая интерпретация на языке уравнений Фоккера — Планка.
7.7.3. КОМПЛЕКСНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПУАССОНА
и 3 представляет собой некоторый контур С на комплексной плоскости. Можно показать, что это предстарление существует при некоторых ограничительных условиях. Действительно, вместо (7.7.18) мы можем взять
Р(х) = J d/u(a)(e aaxjx\)f(a) .
(7.7.29)
dfu(a) = da
(7.7.30)
Здесь d/u(a) = da
(7.7.31)
(7.7.32)
и С охватывает начало координат. Это значит, что
344 Глава 7
С помощью надлежащего суммирования мы можем выразить данную Р(х) через f(a), определяемую как
Если Р(у) таковы, что для всех у величина у IP (у) ограничена, то ряд имеет конечный радиус сходимости, внутри которого /(а) аналитическая. Выбрав контур С так, чтобы он был внутри круга сходимости, мы можем осуществить интегрирование под знаком суммы и найти, что Р(х) дается выражением
а) Пример: реакции (1) А + X +* 2Х; (2) В + X С
Воспользуемся обозначениями разд. 7.7 и выделим три случая в зависимости от величины 6. Параметр 8 определяет направление реакций (7.7.14) при существовании стационарного состояния. Если 8 > 0, то при стационарном значении л: в реакции (1) производится вещество X, а в реакции (2) поглощается X. Когда 6 = 0, обе реакции порознь находятся в равновесии: мы имеем дело с химическим равновесием. При 5 < 0 в реакции (1) X расходуется, а в реакции (2) производится.
1) 5 > 0. Согласно (7.7.24), это является условием того, что /5(а) действительно является квазивероятностью на действительном интервале (0, k2A/k4). В этом диапазоне коэффициент диффузии {к2Аа —