Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
(этого всегда можно добиться перенормировкой переменных). Вводя обозначения
<х> — х, <у> — у, (8х2У —/, (5х5уУ — g, (Sy2) — h получаем
(7.6.38)
d x] ¦ .v - aw ‘---eg]
dt J’:, axy --- yj . agJ
' Г ~x axy~ '2 --- lay ---lax 0 V"
d
dt g - axy + ay a( x --- y) ---ax g (7.6.39)
_h_ axv + y_ J) lay lax --- 2_ _h_
Мы можем попытаться решить эти уравнения в стационарном состоянии. Учитывая, что /, g и h на множитель Q-1 меньше, чем* и у, для этого требуется, чтобы а имело порядок (это также следует из масштабных условий (7.5.29)). Следовательно, « мало. С точностью до низшего порядка,
х,=у,= 1/а. (7.6.40)
Но уравнения для /, g и И в стационарном состоянии тогда имеют вид
(7.6.41)
и несовместны. Таким образом, использованный метод не приводит нас к стационарному состоянию. Можно тогда попытаться решить все уравнения (7.6.39) для стационарного состояния.
После некоторых преобразований получим
'2g ' "2/a '
ft ~f --- 1 ja
,-2g . .2/a
= Л
g„ = a~}(xs - ах\) , так что
/, = ¦*.(- 1<хх\ + х„(2 — ос) — 1) / (2 - 2axs) К = х,( — 2ах2 + xs(2 + а) + 1)/(2 — 2axs) .
(7.6.42)
(7.6.43)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы
333
и уравнение для gs дает нам
-axl + axs(fs — hs) = 0 ,
откуда получаются решения для стационарных значений
(7.6.44)
v, У, = 1 /, -= J а/(а — 2)
(7.6.45)
Si = j(2 — a)j а
- 1 / (а ¦- 2) .
Для малых а, при которых справедлив этот метод, мы приходим к отрицательному значению /s, которое по определению должно быть положительным. Таким образом, стационарного решения нет.
Если вновь принять приближение = vs = 1/а, то дифференциальные уравнения для f,gnh легко решаются. Считая, что в начальный момент дисперсии и корреляции равны нулю, получим
Заметим, что/(О и h{t) всегда положительны и монотонно возрастают. Решение справедливо только для малых времен, так как из-за возрастания g(t) среднее значение в конце концов начнет зависеть от времени.
7.6.4. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ
Для системы с комбинаторной кинетикой можно получить довольно простое дифференциальное уравнение для производящей функции
где два члена соответствуют двум частям (с /+ и / ) управляющего уравнения. Таким образом,
Л О = =r(cos 21 — I) -i- —
2 a a
a
g(t) = — — sin 21
(7.6.46)
h(t) = - ~ (cos 2t — 1) — --la a
(7.6.47)
Действительно, заметим, что d,G(s, t) = d,+G(s, /) -f d, G(s, t) ,
(7.6.48)
(7.6.49)
334 Глава 7
Заменяя переменную, по которой производится суммирование, на д; — г4 и присваивая ей обозначение х, получаем
d?G(s, t) = X
А,х
Заметим, что '“у I
п
Ха\ _*а + г‘.
Л
«т,1
(*. - Nf)\
П-------—-------s*
тт —s° х°-— = тт (dN^sxA SN°
V (ха - ыу. V \° °) *
и
Sx“+rix„\ I nA \ л
7 (х1 - N?y. = П (d°°s°°)s«a »
Р(х, t). (7.6.50)
(7.6.51)
откуда
3,+С(5,о = Z ** (п & - П 3nJg(s, о .
\ о а I
(7.6.52)
(7.6.53)
Аналогично получим формулу для д, G(s, t) и, объединив их, придем к
3,G(s, ,)=¦? (п sMJ- П (ki п к~л п йЯ G(s, t)
А \ а а } \ а а /
(7.6.54)
Это общая формула дифференциального уравнения для производящей функции. Приведем теперь несколько примеров.
а) Модель, допускающая точное решение Рассмотрим реакции [А, В, С фиксированы)
А + X ii- 2Х + D N1 = 1, М1 = 2; г1 = 1
k* = М *г = 0
(7.6.55)
Ап
В + X^ с к,
N2 = 1, М2 = 0; г2 = -1
= Аг,Я к, = А:-.С.
(7.6.56)
С учетом (7.6.54) уравнение для производящей функции имеет вид 3,(7 = С?2 - s)(k2Ad,G) + (1 - stkiBd.G - k3CG). (7.6.57)
