Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Sy
Собственные значения матрицы суть
I = ± i(ktk3a)l:2,
(7.6.20)
(7.6.21)
(7.6.22)
что указывает на периодическое движение при всяком малом отклонении от стационарного состояния. Таким образом, мы имеем дело с безразличным равновесием, когда возмущение не увеличивается и не затухает.
Это связано с существованием сохраняющейся величины
V = к2(х 4 у) — к, log х — к}а log у , (7.6.23)
которая, как легко проверить, удовлетворяет условию dV/dt = 0. Таким образом, в системе сохраняется V, а это значит, что существуют различные круговые траектории при постоянных значениях V. Принимая вновь
х = *s + 8х (7.6.24)
.430 Глава 7
и разлагая до второго порядка, мы видим, что
Sy2
У^Ц/Sx^ _JyM 2\k23^(kla)2)
(7.6.25)
так что изначально орбиты эллиптичны (к этому же выводу можно прийти и из рассмотрения линеаризованного случая).
По мере увеличения орбит их эллиптичность уменьшается, и в конце концов либо х, либо у могут обратиться в нуль.
Если х первым обращается в нуль (все жертвы истреблены), то, как видим, у тоже неизбежно обращается в нуль. Если же у становится равным нулю (все хищники погибли от голода), то численность жертв экспоненциально растет, не ограниченная ничем.
Стохастическое поведение. В силу сохранения величины V орбиты имеют безразличное равновесие. Это значит, что при учете флуктуаций размер орбиты будет изменяться со временем. Это можно прямо увидеть из эквивалентных стохастических дифференциальных уравнений
г(1х!
: I
! dy}
kxax k2xy ¦
k2xy k,y _
dt + C(x, y)
dWm [dW2(t)
(7.6.26)
где
C(x, y)C(x, y)T = B(x).
(7.6.27)
Далее, воспользуемся формулой Ито
dV dV I Id2 V d2V d2V \
dV{x' y) T=dxdx + dydy + '2 [dx* dx* + 2 dxdy dxdy + ^P dy) > <7-6-28)
о гкуда
/dV dV \
(,dV(x, y)) = (j^ik^ax - k2xy) + -^(k2xy - k3y)jdt
+ Bn Ъ? + Bl2 ty )dt-
(7.6.29)
Первое среднее обращается в нуль, поскольку V сохраняется как детерминированная величина, и мы получаем
<Л-(,, у)У = I № + **>¦ + + Ш) . (7.6.30)
2\Jf X У у /
Все эти члены имеют порядок О-1 и положительны, когда х и у поло-ительны. Таким образом, У(х, у) в среднем монотонно возрастает, умеется, в конце концов будет задета одна из осей, и произойдет
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 331
то же самое, что и в детерминистическом случае. Мы видим, что когда х или у обращаются в нуль, V = оо.
В этом случае прямое использование разложения по обратному размеру системы оказывается очень громоздким, и более удобными оказываются уравнения для моментов. Эти уравнения могут быть получены непосредственно из управляющего уравнения, или же из уравнения Фоккера — Планка. Результаты несколько отличаются друг от друга — на величину порядка обратного объема. Для простоты воспользуемся уравнением Фоккера — Планка, откуда
d_
dt
<*>
1<У>.
кха(х) — к2(ху) к2(ху> - кг(у)
(7.6.31)
d_
dt
<*2>
<ху>
,</>J
dt
(7.6.32)
(7.6.33)
~(2х dx + dx2)
(x dy + у dx + dx dy)
<2у dy + dy1)
~2kxa(x2) — 2 k2(x2y) + kxa(x) + k2(xy)~ k2(x2y - y2x) + (kxa -къ- k2)(xy)
2кг(ху2) - 2k3(y2) + kz(xy) + k3(y) _
Чтобы разложение по обратному размеру системы было справедливо, мы должны убедиться в том, что все корреляции и дисперсии имеют порядок 1/0 по сравнению со средними значениями.
Запишем поэтому
дг = <*> + ёх (7.6.34)
У = <У> + Sy
и оставим в разложении лишь члены низшего порядка. Заметив, что члены, возникающие из {dx2), <dxdy> и {dy2), имеют порядок по О на единицу меньший, чем остальные, получим
(7.6.35)
d (ХУ ~кха(х) - к2<х)(у) I ---к2(5х5у)'
dt .O'). к2<х)(у) - к3(х) <_у> k2(Sxdy)
?
dt
(дх2) I Г*,а<*> + к2(х)(уУ (SxSy) = ~к2(х){у)
_<<V> J 1*2<*Х.И> + к3(у) _
2кха — 2к2(у), —2 к2(х) кг(у) , кха-к3 + к2((х)-
О , 2к2(у)
, О
O'», ~к2(х)
, 2кг(х) — 2к1\\_(ду2)
(7.6.36)
<<5*2> -(дхду)
332
Глава 7
Заметим, что средние, до низшего порядка, подчиняются детерминистическим уравнениям, однако в следующем порядке появится вклад от члена с <5л'<5у>. Рассмотрим упрощенный случай, когда
, кг = а (7.6.37)
кха — к-3 =
