Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Разложение Крамерса — Мойала получается из (7.5.9) в точности так же, как это было сделано в разд. 7.2.2, и даже проще, поскольку
(7.5.9) уже имеет требуемый вид. Таким образом, мы имеем
д,Р(х, 0 = X
А.п
(rA'VY
' „у1 [tjx)p(x, t)}
<—rA.Vy
---nl----Ua(x)P(x, /)]
и, отбрасывая члены порядка выше второго,
д,Р(х, t) = -X да[Аа(х)Р(х, /)] + 1 X дадь[ВаЬ(х)Р(х, /)]
а а,Ь
Ла(х) = х ^Ua(x) - /Л*)]
В„ь{х) = X rtr?[tZ{x) + / Л*)] •
А
(7.5.30)
(7.5.31)
(7.5.32)
Итак, мы получили химическое уравнение Фоккера — Планка, соответствующее исходному управляющему уравнению. Следует иметь в
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 327
виду, однако, что оно справедливо лишь как приближение, при котором разложение по обратному объему с точностью до порядка 1 /Й совпадает с тем же разложением для соответствующего управляющего уравнения.
Если подобная точность приближения достаточна, то часто бывает удобнее пользоваться уравнением Фоккера — Планка, нежели управляющим уравнением.
7.6. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ
7.6.1. X + А * 2Х Здесь
t+(x) = kiax (7.6.1)
/~(х) = к2х(х — 1) .
Следовательно,
А(х) = к^ах — к2х(х — 1) ~ кхах — к2х2 с точностью до 1/й,
В(х) = ktax + к2х(х — 1) ~ кхах + кгхг с точностью до 1 /й. (7-6-2)
У к
7.6.2. X * Y
к у
Здесь мы имеем
tt(x) = УУ /f( х) = кх
г1 = (1,-1)
(7.6.3)
(7.6.4)
Следовательно,
Г 11 ГО]
Ах) = (ГУ — кх) + { (ка - УУ\
(7.6.5)
у у — кх кх + ка — 2 уу
(7.6.6)
О
В(х) =
(1, -1) (уу + кх) +
(О, 1) (ка + уу)
(7.6.7)
уу + кх —уу — кх
— уу — кх 2 уу + кх + ка
(7.6.8)
328 Глава 7
Если теперь воспользоваться формой, линеаризованной относительно стационарного состояния, то
уу = кх = ка (7.6.9)
В,
2ка
-2ка
-2 ка]
4ка \
(7.6.10)
7.6.3. СИСТЕМА ХИЩНИК — ЖЕРТВА
Рассмотренная в разд. 1.3 система хищник — жертва дает нам хороший пример интересующих нас систем. На языке химических реакций мы можем записать
X 4- А — 2Х V' — (1, 0)
X 4- 7—2 Y г2 = (-1,1) (7.6.11)
Y -- В г3 = (0,-1).
Все реакции необратимы (хотя можно ввести и обратимость), так что *а(х) ^ 0 (А = 1, 2, 3); ко
tl(x) = /2+(х) =
.V!
(х -- 1)! у\ "
И J’!
кхах
х\
(х - !)!(>• - 1)!
к-гхУ
(7.6.12)
^'(х)
А: '.
л-! (>¦
1)!
к3у .
Управляющее уравнение теперь можно выписать с использованием
(7.5.9) в явном виде:
дР(х, у) = кха(х - 1 )Р{х - 1, >¦) + к2(х + !)(>’ - l)P(x +l,y- 1)
А д;.' 1) Р(х, у + 1) — (кхах 4- к2ху -|- к3у) Р(х, у). (7.6.13)
Это уравнение не имеет точных решений, так что приходится использовать приближенные методы.
Разложение Крамерса — Мойала. Из (7.5.32) имеем
0]
кгху 4- , к3у (7.6.14)
А(х)
0
кхах 4
¦1
\кхах
кгху \к2ху — кЗу _
(7.6.15)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 32У
m r-п г от
В{х) (!. 0)к,ах + I (-1,1 )к2ху + \ ¦ (0, 1 )к3 v
() L 1 L-1J
~к>ах + к2ху — к2ху ]
— к2ху кгху + к3у\
Детерминистические уравнения имеют вид ,/ Г-v] _ к мх — к:хг
dt [у | 1к2ху — к, у j
Стационарное состояние при
_ \k3lk2 j !ysJ [kia/k2\
(7.6.16)
(7.6.17)
(7.6.18) (7.6 19)
Чтобы определить устойчивость этого состояния, проверим устойчивость линеаризованного детерминистического уравнения
d <5х | 3A(xs)
| = — дх -г
dt L (5 vj dxs
кха — k2ys
k2ys
0
kta
-k{
0
SA(xs)
dy,
<5л- + (5x1
I
Syj
Sy
j k2xs [k2xs — k3
