Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
х = *0 + Ц ПаГл ; («л целое), (7.5.11)
однако получаемые решения могут быть неоднозначными, так как, к примеру, из (7.5.10) мы можем записать
Г Ux I r-Ч I гл1 Л(*) t }(*) / +„(х + гл)
П(х + г) + г]-гЛх + гЛ)Гв{х + гЛ + гВ) ,
но
Л(*) ’ п(х) !+л(х + ГВ)
(7.5.12)
Pt[(x + гв) + ri - t_(x + rB) t_{x + ri4 + fB)
Используя комбинаторные представления (7.5.8) и подставляя их в
(7.5.12), мы видим, что условие удовлетворяется автоматически.
Условие это становится, однако, нетривиальным, если одни и те же две точки могут быть соединены друг с другом двумя существенно различными путями, т.е. если, например,
NA Ф NB
МАФМВ, (7.5.13)
но Г4 = Г8 з Г.
324 Глава 7
В таком случае для единственности Ps(х 4- г'1) в (7.5.10) требуется, чтобы
Ja(x) _ t?(x)
1 л(х + г) t „(х + Г)
(7.5.14)
а это означает, что
к а к],
(7.5.15)
Если существуют две цепи реакций А, В, С, ... , и А', В', С', ... , такие, что
гл + гв + гс + ... = гл' + гв' + гс> + ... , (7.5.16)
то прямой подстановкой можно убедиться, что
РХх
г • ...) Р?х + ГА’ + г3' 4- гс’ + ...)
(7.5.17)
справедливо лишь в том случае, когда
клевке к а к в кё
к а! kg, кс, к а' кв/ кс.
(7.5.18)
Последнее равенство является, таким образом, условием детального баланса в управляющем уравнении с комбинаторной кинетикой.
Решением для Ps(х) в данном случае является многомерное распределение Пуассона
tуха Q~aa
/М.г) II , (7.5.19)
а Ла .
что можно проверить подстановкой в (7.5.10):
аа(х°+,р<г!° к-А(х„ 4- rj)\ „ к+Л ха!
V (xa + r?)l (xQ~+ri-Mi)\ ? xj (.v„ — NA)\ '
Пользуясь тем, что
ri = МАа - Hi ,
находим
k+A П «.< = t;n • (7.5.21)
Наиболее общее решение, однако, будет иметь такой вид только при одновременном выполнении разного рода законов сохранения.
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 325
Например, в реакции
X^=±2Y, (7.5.22)
сохраняется величина 2х + у. Таким образом, стационарное распределение имеет вид
p-а, ах е-а2 пУ
J' ?<2Л' ' ¦> (75-23)
где ф — произвольная функция. Выбрав Ф(2х -V >') = 1, мы получим распределение Пуассона. Или же мы могли бы выбрать
ф{2х + у) = 5(2.т + _)>, /V) (7.5.24)
что соответствует фиксированию суммы 2х + у на уровне N.
В качестве вырожденного случая эту реакцию иногда рассматривают в виде
1 . ‘ 2 > , (7.5.25)
где А считают фиксированным детерминированным числом. Возмож-
ными реакциями в таком случае являются
A^2Y: t+(y) = kta (7.5.26)
2Y-А Г{у) = к2у(у - !),
и закон сохранения сводится всегда просто к тому, что у сохраняет свою четность (т. е. либо всегда четное, либо всегда нечетное). Стационарное решение имеет вид
Л( V) - у, v(y, а) , (7.5.27)
где ф(у, а) является функцией у лишь в том смысле, что она зависит
от четности или нечетности у.
7.5.2. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ В ОТСУТСТВИЕ ДЕТАЛЬНОГО БАЛАНСА (РЕШЕНИЕ КИРХГОФА)
Существует метод, который в принципе позволяет в общем случае найти стационарные решения, хотя большого практического применения он не нашел. За подробностями заинтересованный читатель может обратиться к работам Хакена (разд. 4.8 в [7.8]) и Шнакенберга
[7.4]. Приближенные методы, однако, открывают более широкие возможности.
326 Глава 7
7.5.3. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ОБРАТНОМУ РАЗМЕРУ СИСТЕМЫ И АНАЛОГИЧНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
В общем случае мы находим, что для химических управляющих уравнений разложение по обратному размеру системы действительно существует. Предполагается, что скорость производства или поглощения вещества пропорциональна О, т. е. размеру системы. Это значит, что при О — оо следует ожидать
x~Qp, (7.5.28)
где р — набор значений химических концентраций. Следовательно, при О — оо величины ^(*) должны быть пропорциональны О, для чего требуется
k+A- ~к1?2-Р'+1
( ~K-AQ-?Mi+l.
1 ^
(7.5.29)
При этих обстоятельствах можно получить разложение ван Кампена по обратному размеру системы в многомерном случае. Это разложение получается настолько сложным, что здесь мы не будем выписывать его в явном виде. Однако, как и в случае одной переменной, существует разложение Крамерса — Мойала, первые два члена которого описывают диффузионный процесс, имеющий такой же асимптотический вид, как и соответствующий процесс, полученный из разложения по обратному размеру системы.
