Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рассматривая задачу о переходе через потенциальный барьер (разд. 5.2.7в), которая для данного типа управляющего уравнения может возникнуть, например для реакции с бистабильностью в контексте разд. 7.1.3, мы можем использовать вполне аналогичное приближение. Определим для нашего примера среднее время перехода из устойчивого стационарного состояния х{ в другое устойчивое стационарное состояние x3.
В этом случае точка л- = 0 является отражающей границей, и мы рассматриваем интервал (0, x3), а начальной точкой служит л-,. Заметим, что
//.л Л(0)/+(0)
ф{х) - Д ад = ад ад ' (7А16)
так что
T(Xl - *з) = g [Ps(y)t+(y)r ? Л(г) • (7.4.17)
у = *1 2 = 0
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 32!
Если допустить, что имеет резкий максимум в неустойчивой
точке л -,, то мы можем положить у — х2 во всех остальных сомножителях в (7.4.17) и получить
есть полная вероятность нахождения на нижнем пике стационарного распределения. Полученный результат является дискретным аналогом результатов разд. 5.2.7в.
7.5. МНОГОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ РОЖДЕНИЯ — ГИБЕЛИ
Это очень широкий класс систем, эволюция которых во времени может рассматриваться как результат индивидуальных взаимодействий между элементами некоторого множества. К таким системам можно отнести, например,
— химические реакции, при которых молекулы, сталкиваясь друг с другом, претерпевают превращения;
— экологические системы, в которых особи гибнут, дают потомство, спариваются, уничтожают друг друга;
— эпидемии, в которых заболевание передается от одного индивидуума к другому при контакте.
Все системы такого рода можно моделировать с помощью метода, который я называю комбинаторной кинетикой', в рамках которого вероятность перехода для некоторого превращения, являющегося следствием определенного взаимодействия, пропорциональна числу возможных взаимодействий данного типа.
Например, в химической реакции X ^ 2У прямая реакция X — 2У происходит в результате спонтанного распада вырожденного взаимодействия, в котором участвует только один индивидуум. Число возможных взаимодействий этого типа равно числу индивидуумов типа X, следовательно, мы можем принять
Для обратной реакции существует у (у - 1 )/2 различных способов выбора пары молекул Y. Следовательно,
(7.4.18)
где
19)
t(x —+х—\,у—+у~\-2) :-= Ar,x .
(7.5.!)
t(x — х + 1, у — у — 2) = кгу(у — 1)
(7.5.2)
322 Глава 7
В общем случае мы можем рассматривать многие типы взаимодействий между многими видами молекул, индивидуумов и т. п. На языке химических реакций мы можем сформулировать общий принцип следующим образом.
Рассмотрим систему из п компонентов, в которой происходят s различных реакций:
Коэффициент Ng при Ха есть число молекул типа Ха в левой части уравнения, а МА — соответственно в правой. Воспользовавшись векторным представлением, мы можем записать
х = (х„ х2, х„)
Ясно, что когда реакция А продвигается на один шаг в прямом направлении, то
и пропорциональны соответственно числу способов выбора комбинации NA или МА из х молекул. Таким образом, управляющее уравнение имеет вид
Эта форма, разумеется, является самым общим способом записи однородного по времени управляющего уравнения для целочисленной пе-
И МАаХа (А = 1, 2, ... s) .
(7.5.3)
а
а
N* = (NА, Ni,...,Ni)
МА = (Mi, Mi, ..., Mi)
(где xa есть число молекул вида Ха). Определим также rA = МА - NA .
(7.5.4)
(7.5.5)
X — X + гл ,
(7.5.6)
а в обратном
X -- X — гл .
(7.5.7)
Константы скорости определяются выражениями
(7.5.8)
д,Р(х, t) = Ц{[^(дг + гА)Р(х + rA, t) - ti(x)P(x, /)]
А
¦+ [t+*(x - гА)Р(х - rA, t) - Гл(х)Р(х, /)]}.
(7.5.9)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 323
ременной х, изменяющейся шагами длины г4. Общее комбинаторное управляющее уравнение возникает именно благодаря специальному выбору вида (7.5.8) для вероятностей перехода за единицу времени. Иначе его называют также химическим управляющим уравнением, поскольку подобные уравнения особенно удобны для описания химических реакций.
7.5.1. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ДЕТАЛЬНОГО БАЛАНСА
Вообще говоря, не существует способа записать стационарное решение в явном виде, удобном для практических приложений. Если, однако, детальный баланс имеет место, то стационарное решение можно получить без труда. Будучи просто числовым вектором, переменная х может быть только четной; следовательно, детальный баланс должен записываться в виде
ГЛ(х + rA)Pa(x Н» гл) = tl(x)P.(x) (7.5.10)
для всех А (см. разд. 5.3.5). Требование, чтобы данное условие выполнялось для всех Л, накладывает довольно жесткие ограничения на f%. Это следует из того факта, что (7.5.10) предоставляет возможность вычисления Р%(х0 + лг4) для любого п и для любых начальных дг0. Используя этот метод для всех доступных А, мы можем получить Р%(х) на пространстве всех х, которые могут быть представлены в виде
