Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гардинер К.В. -> "Стохастические методы в естественных науках" -> 111

Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.

Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках — М.: Мир, 1986. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): stahonicheskiemetodivestestvennaukah1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 185 >> Следующая


Граница в b t + (b)P(b) = t~(b + 1 )P(b + 1) Рф + 1) = О

(7.3.7)

б) Обратное управляющее уравнение

Обратное управляющее уравнение имеет вид (см. разд. 3.6) д,,Р(х, t\х', /') = /+(а-')[/’(л:, t\x' + 1, /') — Р(х, t\x’, /')]

+ r(x')[P(x,t\x’ - 1,(')- Р(х,1\хг, О] . (7.3.8)

В случае отражающей границы в точке х = а ясно, что 1~(а) = 0 эквивалентно введению фиктивной Р(х, t\a — 1, /'), такой, что P(x,t\a- I,/') = P{x,t\a,t'). (7.3.9)
318 Глава 7

В .случае поглощающего барьера t+(a — 1) не войдет ни в одно из уравнений для Р(х, t1х', /') при х, х' е [а, Ь]. Однако, поскольку

t + (a — 1) = 0, уравнения, в которых х' < а — 1, очевидно, не нару-

шат условия

Р(х, t\x', /') = 0, х е [a, b], х' < а — 1 , (7.3.10)

что для уравнения с х' = а будет эквивалентно введению

Р(х, t\a- 1,/') = 0 ; (7.3.11)

что и является требуемым граничным условием. Суммируя сказанное,

получим следующую таблицу:

Обратное управляющее уравнение на интервале [а, Ь\ Отражающая Поглощающая

Граница ва Р(Ла — 1) = />(* I аг) Р(’\а — 1) = 0, (7.3.12)

Граница в b Р(ЛЬ + 1) = Р(-\Ь) Р(ЛЬ + 1) = 0.

7.4. СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ ДОСТИЖЕНИЯ ГРАНИЦЫ

Метод расчета указанных времен в простом «одношаговом» случае близок к методу, разработанному для уравнения Фоккера — Планка (разд. 5.2.7). Пусть система ограничена интервалом

а < х < b , (7.4.1) '

и на каждом конце его частица либо поглощается, либо отражается. Для определенности рассмотрим систему с

отражающей границей в х = а и поглощающей границей в х = b + 1.

Используя, по существу, те же рассуждения, что и в разд. 5.2.7, мы находим, что Т(х) — среднее время, необходимое для того, чтобы частица, находящаяся изначально в точке х, была поглощена, — удовлетворяет уравнению, связанному с обратным управляющим уравнением (7.3.8):

t+(x)[T(x + 1) - Дх)] + г(х)[Т(х - 1) - Т(х)} = - 1 (7.4.2)

с граничным условием, соответствующим (5.2.159) и вытекающим из

(7.3.12):

Т(а - 1) = Т(а) (7.4.3а)

T(b + 1) = 0 . (7.4.36)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 319

Если определить

Щх) = Т{х + 1) - Т(х) , (7.4.4)

то (7.4.2) принимает вид

t+(x)U(x) - t~(x)U(x - I) = 1 . (7.4.5)

При

<7А6)

S(x) = Щх)1ф(х) (7.4.7)

выражение (7.4.5) эквивалентно уравнению

/+(jc)^(jc)[*S'(jc) - S(x - 1)] = -1 (7.4.8)

с решением

S(X) = - t WW*)] • (7.4.9)

2=а

При этом удовлетворено граничное условие (7.4.3а), согласно которому

U(a - 1) = S(a - 1) = 0 . (7.4.10)

Следовательно,

Т(х + 1) - Т(х) = -ф(х) ± l/[r+(zV(z)] , (7.4.11)

х—а

и

Т(х) = s ф(у) ± \!и+Ш?)]

у = х z=а

а отражающая,

Ь поглощающая, (7.4.12) Ь > а,

причем граничное условие (7.4.3) также удовлетворено; Тф + 1) = 0.

Аналогично если а является поглощающей, а Ь — отражающей границей, то

т{х) = ? ф(у) s \;it+wu)\

у=а г=у

а поглощающая,

Ь отражающая, (7.4.13) а < Ь.

Можно также вывести формулу, соответствующую (5.2.128), для случая, когда обе границы поглощающие.
320 Глава 7

7.4.1. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОГЛОЩЕНИЯ

Если а и b конечны, то среднее время до поглощения также конечно. Если, однако, граница b является отражающей и находится в бесконечности, то выражение для среднего времени поглощения может расходиться. Само по себе это еще не означает, что существует отличная от нуля вероятность того, что частица не будет поглощена. Точный результат (см. разд. 4.7 в [7.7]) состбит в следующем.

Если процесс происходит на интервале (а, оо) и а является поглощающей границей, то вероятность поглощения в состоянии (а — 1) для частицы, находящейся в состоянии л-, рассчитывается так. Определим функцию

М(х) = ?

А 1+(уУ .-.'“ОО J

(7.4.14)

Тогда если М(х) < оо, то искомая вероятность есть М(х)

1 + М(х) ’ (7.4.15)

а если М(х) = оо, то эта вероятность равна единице, и тогда среднее время до поглощения дается формулой (7.4.13).

7.4.2. СРАВНЕНИЕ С УРАВНЕНИЕМ ФОККЕРА — ПЛАНКА

Формулы (7.4.12, 13) в действительности очень сходны с соответствующими формулами для диффузионного процесса (7.4.1, 2). Используя . модель, приведенную в разд. 7.2.1в, нетрудно показать, что в пределе <5 — 0 они совпадают.
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed