Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Ван Кампен [7.13] показал, что в данном случае мы должны принять
а = Q ф(О + , (7.2.70)
и тогда (7.2.32) примет вид
тп _ =ё й 'ад-)+<)•
(7.2.71)
Допустим теперь, что первые (<? - 1) производные 2,(0^ обращаются в нуль. Если мы теперь в качестве ф(1) возьмем ф5, уравнение (7.2.21) с точностью до низшего порядка имеет вид
dP(z'-) ар(ф.)?211-'' (1-") ~ z”p
dt q\ dz
32
+ га2(ф!,)&'~2'1 + члены высших порядков. (7.2.72)
Чтобы обеспечить сохранение г равным по порядку величины единице, положим
(1 — q) (1 — ц) = (1 — 2ц), т. е. ц= , (7.2.73)
так что в результате
dP dt
где значения 5^ и 52 берутся при ф5. Теперь флуктуации изменяются на более медленном временном масштабе, который дается выражением
г = (7.2.75)
уравнение же для среднего значения имеет вид
= 1 «“<**> (7.2.76)
ат q\
и уже не связано с линеаризованным детерминистическим уравнением. Разумеется, устойчивость зависит от знака и четности q. Простейший устойчивый случай соответствует q — 3 и отвечает критической точке В на рис. 7.2. В этом случае мы имеем дело с кубическим процессом, рассмотренным в разд. 6.3.4а, с долговременным масштабом
т = ?2-"Ч . (7.2.77)
316 Глава 7
Мы видим, что для больших ft зависимость от времени дается функцией от 7 = Q~l/2t. Только для t ^ ft1/2 значения т становятся заметными, и поэтому эволюция системы наблюдается лишь для очень больших Л Таким образом, при больших ft движение системы становится очень медленным.
Условие (7.2.68) обычно контролируется каким-либо внешним параметром (например, температурой), и точка в пространстве параметров, для которой удовлетворяется условие (7.2.68), называется критической точкой. Очень медленную эволюцию системы в критической точке называют критическим замедлением.
7.3. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ РОЖДЕНИЯ — ГИБЕЛИ
Для процессов рождения — гибели существует довольно простой способ введения граничных условий. Если процесс ограничен интервалом [а, Ь], то отражающие и поглощающие граничные условия, очевидно, сводятся к запрету на выход из интервала или возвращение в интервал соответственно, т. е.
Отражающая Поглощающая
Граница в a t~(a) = 0 t + (a — 1) = 0 (7.3.1)
Граница в b t+(b) = 0 t~(p + 1) = 0.
Иногда, однако, полезно в процесс ввести границы, и вместо того, чтобы полагать некоторые вероятности перехода равными нулю, накладывать граничные условия, подобные использованным в уравнениях Фоккера— Планка (разд. 5.2.1), чтобы результирующее решение на интервале [а, 6] было решением управляющего уравнения с обращающимися в нуль вероятностями перехода. Это может оказаться желательным для сохранения определенного аналитического вида вероятностей перехода.
а) Прямое управляющее уравнение
Прямое управляющее уравнение может быть записано в виде д,Р(х, t\x', t') = t+(x — 1)Р(х — 1, t\x', t') + t~(x + l)P(x + 1, t\x', t')
- [f+(JC) + t-(x)}P(x, 11 n . (7.3.2)
Пусть мы хотим установить отражающую границу в х = а. Мы можем сделать это, потребовав
t (а) = 0
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 317
Р(а - 1, t\x', I) = 0 . (7.3.3)
Единственным уравнением, на котором сказывается это требование, является уравнение для д:Р(а, I\х', I'). То же самое уравнение, однако, может быть получено не путем наложения условия t~(a) = 0, а путем введения фиктивной вероятности Р(а — 1, t\x', 1'), для которой
t+(a — 1 )Р(а — 1, /!х’, t') = t~(a)P(a, t\х’, /'). (7.3.4)
Это можно рассматривать как аналогию с требованием нулевого потока вероятности для отражающей границы в уравнении Фоккера — Планка.
Если нам необходим поглощающий барьер в точкех = а, мы можем потребовать
/+(а — 1) = 0 . (7.3.5)
После достижения точки а - 1 процесс уже не возвращается на интервал, и дальнейшее его поведение нас не интересует. Единственным уравнением, на котором это сказывается, является уравнение для д,Р(а, I 1х', I'), и то же самое уравнение мы получим, введя фиктивную Р(а — 1, t\x’, /'), для которой
Р(а - 1, t\x\ /') = 0 . (7.3.6)
Подводя итог, мы можем дать альтернативную формулировку граничных условий, эквивалентных на [а, b] условиям (7.3.1):
Прямое управляющее уравнение на интервале [а, b]
Отражающая Поглощающая
Граница в a t~ (а)Р(а) = l+(a — 1 )Р(а — 1) Р(а — 1) = О
