Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Стационарное решение уравнения (7.2.36) имеет вид
О
= ^Г(/с2йг + jfc,x)-1+«2*/*ie-2*. (7.2.53)
Полученный предел можно проверить непосредственно, подставив х = К(*2в0/*,) + <5, (7.2.54)
так что
(7.2.53) = Ж(2Vk2a0 + к,3)~'+*ук*ас'^-мг-анч-г» . (7.2.55)
Тогда
log Р.(х) ~ const - 2кга~у(б ~ ' (7.2.56)
Используя точное пуассоново решение, делая ту же подстановку и
применяя формулу Стирлинга
log х! — (х + j) log х — х + const, (7.2.57)
мы получим результат, совпадающий с (7.2.56). Однако точные ре-
зультаты различны, и даже отношение логарифмов неодинаково.
Линейный относительно <5 член является на самом деле членом низшего порядка относительно V: действительно, используя (7.2.39), мы получим 6 = z'fV, и
log ~ const - ^ (-JU - 2-) , (7.2.58)'
так что в пределе больших V мы приходим к простому гауссову распределению с нулевым средним.
в) Цепочка уравнений для моментов
Из разложения (7.2.34) мы можем вывести уравнения для моментов <.zk) = J dz P(z, t)zk, (7.2.59)
путем прямой подстановки и интегрирования по частям:
// оо /"} — (т-2) / 2 т, к
Т, 0*> - 2 5 • (7.2-60)
Иерархию уравнений можно получить, разлагая {zk) по степеням П~1/2:
<z*> = ? MkrQ~ni. (7.2.61)
r~Q
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 313
С помощью этой цепочки уравнений мы можем рассчитать стационарные моменты и автокорреляционные функции, используя те же методы, которые применялись в разд. 6.3.1 при вычислении моментов в рамках разложения уравнения Фоккера — Планка по малому шуму. Это осуществил ван Кампен в работе [7.2].
7.2.4. ТЕОРЕМА КУРЦА
Курц [7.6] показал, что в некотором смысле разложение Крамерса — Мойала может дать несколько более сильный результат, чем разложение ван Кампена. Для ограничения класса процессов рождения — гибели с полиномиальными вероятностями перехода он продемонстрировал следующее. Рассмотрим стохастический процесс, подчиняющийся управляющему уравнению рождения — гибели:
д,Р(а, t) = Y,W(a\ а')Р(а', 0-IW| а)Р(а, t) , (7.2.62)
а' а'
где удовлетворено масштабное условие (7.2.29). Тогда существует процесс bit), удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению
db(t) = ai(b)dt + ^ajbj dW(t) , (7.2.63)
и для каждой реализации a(t) в (7.2.62) существует реализация b(t) в (7.2.63), такая, что
\b(t) — a(t)\ ~ log V (7.2.64)
для любого конечного t.
Этот результат соответствует низшему порядку в разложении ван Кампена. Действительно, сделаем подстановку вида (7.2.30), а именно
a(t) = Уф{1) + Vinz(t) (7.2.65)
b(t) = Уф{1) + ¦ (7.2.66)
Тогда характеристической функцией z(t) является <ехр [isz(/)]> = <ехр [isV~lna(t) — isK1/2^(/)]>
= ехр [— isK1,25i(/)]<exp [isK-I/26(/)]> + 0(V~1/2 log V)
= <exp [isy(t)]) + 0(К~и2 log V). (7.2.67)
Используя асимптотическое разложение для УФП, мы видим, что функция распределения для y(t) приближается к таковой для УФП
(7.2.35) с точностью до 0(V~l/z), откуда следует искомый результат,
314 Глава 7
имеющий, правда, несколько более слабую сходимость из-за наличия члена с log V. Таким образом, с точки зрения величин, которые можно рассчитать и измерить, средних значений, дисперсий и т. п., кажущийся более сильным результат Курца эквивалентен разложению ван Кампена по обратному размеру системы.
7.2.5. КРИТИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
Существование разложения по обратному размеру системы, как указано в разд. 7.2.3, основывается на том, что а[(а) не обращается в нуль. Могут, однако, возникнуть ситуации, когда
где ф% — стационарное решение детерминистического уравнения. Такое случается, например, при рассмотрении реакции разд. 7.1.3, для которой (в обозначениях этого раздела)
at(y) = (Вуг + р — у3 - уК)кг . где /с2 = V2k2.
Возможны два случая, которым соответствуют точки А и В на рис. 7.2. Случай А соответствует неустойчивому стационарному состоянию: всякое отклонение влево приведет в конце концов в точку С; однако точка В устойчива. Ясно, что детерминистическое уравнение принимает вид
и управляющее уравнение у нас представляет собой аналог кубического процесса из разд. 6.2.4а.
Ш) = о,
(7.2.68)
у = —ki(y — ф,У
(7.2.69)
Рис. 7.2. Различные виды кривых а, (у), имеющих точки a[tу) = 0.
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 315
