Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
(7.2.28)
(7.2.29)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 309
Если это так, то мы можем осуществить разложение. Введем новую переменную z, в которой
а = Пф{1) + Ql'2z , (7.2.30)
где 0(0 есть функция, которую нужно определить. Теперь окажется, что ап(а) пропорциональны П; запишем
а„(а) = Qa„(x) . (7.2.31)
Возьмем разложение Крамерса — Мойала (7.2.25) и, заменив переменную, получим
х + n~l 2z]p(z,t). (7.2.32)
Члены порядка П1/2 с обеих сторон уничтожатся, если ф([) подчиняется уравнению
ф\0 = а,[ф(0] , (7.2.33)
которое является ожидаемым детерминистическим уравнением. Раскладывая а„[0(О + П~|/2г] по степеням fi~I/2 и перегруппировывая слагаемые, находим
Э Р( Z t ^ _°° ГЗ_ (т — 2) ^ 2 т ^7 f I Д \ п
-fc-(-Й (7-2-34)
При переходе к пределу больших П остается только член с т = 2, и мы получаем
= - Si№)] ^ г P(z, г) + у а2[р(Г)] l? P(z, О
(7.2.35)
aj Сравнение с результатом Крамерса — Мойала
Уравнение Фоккера — Планка по Крамерсу — Мойалу, полученное в результате сохранения лишь первых двух членов в (7.2.25), имеет вид
= - h + Т ? Ыа)Р(а)] . (7.2.36)
Переходя к новой переменной х = a/ti, получаем
^ + 25 ? ¦ <7 2 37)
310 Глава 7
Теперь мы можем воспользоваться теорией малого шума (разд. 6.3), приняв
?2 = ? ¦ (7.2.38)
После подстановки
z = Q'l2[x - Ф(1)\, (7.2.39)
УФП низшего порядка для z в точности совпадает с членом низшего порядка в разложении ван Кампена (7.2.35). Это означает, что если нас интересует лишь низший порядок, то мы можем воспользоваться УФП в представлении Крамерса — Мойала, которое может оказаться проще, чем метод ван Кампена. С точностью до низшего порядка результаты будут одинаковы, и каждое из этих представлений будет справедливо лишь до этого порядка.
Итак, если УФП получено из управляющего уравнения, то его справедливость будет зависеть от типа предельного перехода, использованного при его выводе. Если использовался предельный переход вида 6 — 0, как в разд. 7.2.1, то к полученному уравнению можно подходить всерьез и, в частности, до конца исследовать нелинейные зависимости а,(а) и а2(а) от а.
Далее, если уравнение получено в результате разложения по ft, как в разд. 7.2.3, то справедливо лишь приближение теории малого шума. Тогда не имеет смысла рассматривать что-либо кроме линеаризации
(7.2.35) относительно детерминированного решения. Решение этого уравнения дается на базе соответствующего стохастического дифференциального уравнения
dz = а\[ф(ф dt + Уада)] dW(t) (7.2.40)
с помощью результатов разд. 4.4.7 (4.4.49) или 4.4.9 (4.4.83).
б) Пример: химическая реакция X z* А Согласно разд. 7.1.2, имеем
fV(x\x') = Sx,x,+1k2a + S^ikiX'. (7.2.41)
По предположению а = a0V х = x0V,
(7.2.42)
где V — объем системы. Тогда общие количества веществ А и X пропорциональны объему системы (что вполне резонно), а скорости про-
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 311
изводетва и распадаX пропорциональны соответственно а их. Таким образом,
Щх'0; Ах) = У[кга08ЛхЛ + . (7.2.43)
(7.2.44)
Это выражение совпадает с (7.2.29), где Q — V, а — х и т. п. Итак,
«lM = ХК*' — x)W(x'\x) = к2а — кхх = V(k2a0 — кхх0)
<*i(x) = ХК*' - х)2Щх'\х) = кга + к}х = К(А:2а0 + Аг,лг0). Детерминистическое уравнение имеет вид
Ф'О) = [Мо - М(0] , (7.2.45)
а его решение
#г) = #0)е-*«' + ^(1 -е-"1'). Уравнение Фоккера — Планка имеет вид
(7.2.46)
^ = *, A zP(z) + 1^ [кга0 + М(0№ - (7-2.47)
Из (4.4.84, 85) мы можем вычислить, что
<z(?)> = z(0)e"*i'. (7.2.48)
Обычно полагают z (0) = 0, поскольку начальное условие можно полностью учесть, накладывая его на ф. Считая z(0) = 0, находим
D {z(0} =
(1 - е-*»') (7.2.49)
так что
<*(?)> = Уф(1) = Уф{0)е-“>' + ^(1 - е~**0 , (7.2.50)
КI
D {*(?)} = v D [z(t)} =
(1 - е-**'). (7.2.51)
Отождествляя Уф(0) = N, мы видим, что эти выражения полностью совпадают с точными решениями (7.1.38 — 40) разд. 7.1.2. Стационарным решением (7.2.47) является
ад _^„p (-*?), (7.2.52)
т. е. гауссово приближение точного распределения Пуассона.
312 Глава 7