Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
?r0(x) = В(х)/32 (7.2.17 а)
»,(*) = А(х) (7.2.176)
а2(х) = В(х) (7.2.17в)
и
lim W^x'jx) = 0 для*' = х. (7.2.17г)
<5-0
Здесь, однако, а0(х) расходится как 1/<52, а не как 1/5 в (7.2.4), и представление о скачках, происходящих в соответствии с гладким распределением, перестает быть верным. Доказательство, однако, сохраняет силу, поскольку поведение а0(х) несущественно, и предельное УФП имеет вид
= - ^ А(х)Р(х) + ~~ В(х)Р(х). (7.2.18)
Эта форма дает нам способ моделирования диффузионного процесса с помощью аппроксимирующего процесса рождения — гибели. Метод оказывается неприменимым, если В (х) = 0 где-либо в диапазоне изменения х, поскольку это ведет к отрицательным значениям fVs(x' 1х). Заметим, что стационарное решение управляющего уравнения в данном случае имеет вид
Р,(х) = Рs(0) Д
i-г
= Л(0)
5A(z ~ 8) + B(z - 6) -6A(z) + B(z)
~ЗА(0) + B(0y SA(x) + В(х)_
п
2-0
1 +SA(z)!B(z)l
Г-бАШвШ ’ (7'2л9)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 307
так что для достаточно малых <5
log Л(х) — const - log В(х) + ? 23 A(z)jB(z), (7.2.20)
1=0
т. е.
Р, (х) — ехр [21 dz A(z)/B(z)] , (7.2.21)
что и требовалось получить. Ясно, что предел одинаков на любом конечном интервале значений х, если А(х)/В(х) ограничено на этом интервале.
7.2.2. РАЗЛОЖЕНИЕ КРАМЕРСА — МОЙАЛА
Простой, хотя и не строгий, вывод был предложен Крамерсом [7.3] и значительно усовершенствован Мойалом [7.4]. В неявном виде это разложение использовал Эйнштейн [7.5], о чем упоминалось в разд. 1.2.1.
В управляющем уравнении (7.2.7) заменим х', определяя у = х — х' в первом члене и
у = х' — х во втором члене.
После замены
t{y,x)=W(x+y\x), (7.2.22)
управляющее уравнение принимает вид
= J dy [t(y, х - у)Р(х -у) - t(y, х)Р(х)]. (7.2.23)
Разложим теперь правую часть в степенной ряд (7.2.23) = J dy ? (--f- ~ [t{y, х)Р(х)\ (7.2.24)
я— 1
= (7-2.25)
где
а,(х) = J dx’(x' - х)"Щх'\х) = J dy у" t(y, х) . (7.2.26)
Ограничившись двумя первыми членами в разложении (7.2.25), получим уравнение Фоккера — Планка (7.2.8).
Предлагая разложение по обратному размеру системы, ван Кам-пен критиковал это доказательство на том основании, что оно не содержит никаких указаний на то, чтб принимается за малый параметр.
308 Г пава 7
Тем не менее этот способ получил большое распространение, главным образом благодаря своему удобству и простоте получаемого результата. Однако, как показано в разд. 7.2.1, существуют границы его применимости. Действительно, принимая W(x' 1х) в виде (7.2.1), получим
так что при 6 — 0 члены порядка выше второго в разложении (7.2.25) (разложение Крамерса — Мойала) обращаются в нуль. И в своем доказательстве Мойал [7.4] потребовал выполнения условий, эквивалентных (7.2.4, 5).
7.2.3. РАЗЛОЖЕНИЕ ВАН КАМПЕНА
ПО ОБРАТНОМУ РАЗМЕРУ СИСТЕМЫ [7.2]
Управляющие уравнения рождения — гибели дают хорошие примеры ситуаций, когда разложение Крамерса — Мойала оказывается неосуществимым, и простейшим из этих примеров служит процесс Пуассона, о котором упоминалось в разд. 7.2.1.
Во всех подобных случаях длина скачка равна плюс-минус единице или небольшому целому числу, в то время как типичный масштаб переменной велик, — это, скажем, число молекул или координата точки, совершающей случайное блуждание по длинной сетке.
В этих случаях мы можем ввести параметр 12 размера системы, с помощью которого вероятности перехода можно выразить через интенсивные переменные x/Q и т. п. Например, в реакции, рассмотренной в разд. 7.1.3, параметром О служил объем V, а переменная .v/П являлась концентрацией. В обозначениях ван Кампена
а = экстенсивная переменная (число молекул и т. п., пропорционально О); х = а/Q, интенсивная переменная (концентрация молекул).
Нас интересует предел больших О при фиксированном х. Это соответствует подходу к макроскопической системе. Мы можем переписать вероятность перехода в виде
Существенным здесь является тот факт, что величина скачка выражается через экстенсивную величину Аа, однако зависимость от а лучше выражается через интенсивную переменную х. Мы считаем, таким образом, что можно записать
а„(х) = ёп/2 1 J dy у"Ф(у, х) ,
(7.2.27)
W(a | а') = W(a!; Аа) А а = а — а'.
