Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Стохастическое среднее в действительности не определяется точно пиковыми значениями, но хорошо аппроксимируется ими. Разумеется, для всякого В существует одно отчетливо выраженное значение <х(В)У, а не три. Численные расчеты показывают, что среднее значение вначале движется вплотную к нижней ветви, а затем резко перескакивает в точке Вс на верхнюю ветвь. В точке Вс оба максимума имеют равную высоту, и эту точку можно в принципе определить из
(7.1.70).
б) Учет зависимости от времени
Точное решение, учитывающее зависимость от времени, получить невозможно. Почти все приближенные методы основаны на приближении большого объема, свойства которого в стационарном случае были перечислены выше, и будут подробно рассматриваться в следующем разделе.
7.2. ПРИБЛИЖЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УПРАВЛЯЮЩИХ УРАВНЕНИЙ УРАВНЕНИЯМИ ФОККЕРА — ПЛАНКА
Существование систематизирующего масштабного параметра V приводит к понятию разложения по обратному размеру системы, впервые последовательно изложенного ван Кампеном [7.2]. Запутанная история этого вопроса, впрочем, насчитывает немало попыток найти предельную форму управляющего уравнения, приводящую к уравнению Фоккера — Планка. Основной же результат состоит в том, что диффузионный процесс может всегда быть аппроксимирован скачкообразным процессом, но не наоборот.
7.2.1. ПРИБЛИЖЕНИЕ ДИФФУЗИОННОГО ПРОЦЕССА СКАЧКООБРАЗНЫМ ПРОЦЕССОМ
Как мы уже обнаружили для случайного блуждания (разд. 3.8.2), в пределе бесконечно малых скачков управляющее уравнение переходит в уравнение Фоккера — Планка. Очевидно, что скачки должны становиться все более малыми и все более вероятными, и этот факт отражается в гипотезе масштабной инвариантности: существует пара-
304 Глава 7
метр 8, такой, что средняя длина шага и ее дисперсия пропорциональны <5, а вероятность скачка увеличивается с уменьшением <5.
Пусть вероятность скачка можно представить в виде
W6(x’ | х) = Ф XJjA(X)S > X)S~3'2 > (7-2-1)
где
J afv Ф(.и, X) = Q (7.2.2)
и
\с1ууф{у,х) = 0. (7.2.3)
Это означает, что
а-о(х) == J dx' \Уь(х' | х) = Q/S
o-,(.v) == J dx'(x' — x) Ws(x' | x) = A(x)Q (7.2.4)
as(.x) == J dx'(x' — x)2Ws(x'\x) = J dy у2Ф(у, x) .
Далее, мы предполагаем, что Ф(у, х) достаточно быстро уходит в
нуль, когда у — оо, так что
lim Ws(x' | х) = lim
х?—)3ф(у> ¦*)
0 для*' Ф х. (7.2.5)
Условия (7.2.4, 5) весьма сходны с условиями (3.4.1, 4, 5) из разд. 3.4,
и, выбрав дважды дифференцируемую функцию f(z), мы можем, так же как и в разд. 3.4, показать, что
й(Чг)"("(г)!+т“*(z)S) - <7-2-6»
Отсюда следует, что в пределе 5 — 0 управляющее уравнение
dPjr: : Idx>[Щх 1 х’)Р{х,) ~ Щх> 1 х)/>(х)] (7-2-7)
превращается в уравнение Фоккера — Планка
= - ^ а,(х)Р(х) + у ~ а2(х)Р(х) . (7.2.8)
Таким образом, имея уравнение (7.2.8), всегда можно построить управляющее уравнение, которое в зависимости от параметра <5 будет аппроксимировать его с любой желаемой точностью. В подобное
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 305
управляющее уравнение будут входить вероятности перехода, удовлетворяющие критериям (7.2.4). Если же указанные критерии не удовлетворены, то подобное приближение оказывается невозможным. Приведем несколько примеров.
а) Случайное блуждание (разд. 3.8.2)
Пусть х = nl; тогда
W(x\x') = d(5x,'x_, + дх,,х+1) . (7.2.9)
Далее, а0(х) = 2d
ai(x) = 0 (7.2.10)
аг(х) = 214.
Пусть
<5 = /2 (7.2.11)
и
D = Pd. (7.2.12)
Теперь все условия удовлетворены, и предельное уравнение имеет вид дР д2р Г7 2 1Т»
Ш~°д* ’ (7-2ЛЗ)
как и утверждалось в разд. 3.8.2.
б) Процесс Пуассона (разд. 3.8.3)
Здесь, полагая х = nl,
W(x\x') = ddx,x/+, (7.2.14)
и
а0(х) = d
<*,(*) = /</ (7.2.15)
аг(х) = l2d.
Мы видим, что нельзя выразить / и d через параметр 5 так, чтобы / — 0, a a,(v) и а2(х) были конечны. В этом случае предельного уравнения Фоккера — Планка не существует.
306 Глава 7
в) Общее приближение диффузионного процесса управляющим уравнением рождения — гибели
Пусть мы имеем управляющее уравнение, такое, что
W*)= (^+J$)s*.,+S+ (7.2.16)
тогда для достаточно малых 6 вероятность WsQc' 1х) положительна, и по предположению это возможно на всем интересующем нас диапазоне значений дг. Тогда процесс принимает значения из множества чисел, кратных 6, Приведенное выражение имеет иной вид, нежели (7.2.1), но тем не менее в пределе 6 — 0 даст нам УФП. Действительно,
