Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
(7.1.30)
296 Глава 7
дает уравнение
d,y/(z, О + 0 = 0,
(7.1.31)
решением которого является произвольная функция от kxt — z. Запишем это в виде
у/(:, О = ^[exp (—kit + z)] е-*2'’7*1 = Ff(j — 1 e-k2°f*i и тогда получим
G(s, О = F[(s— l)e_tl'] ехр [(j — \)кга!кх].
В силу нормировки G(l, t) = 1, и поэтому F(0) = I .
G(s, 1) = ехр
кга
17
(5 - 1X1 - е~к1‘)
[1 + (j — 1) е fcl']JV •
(7.1.32)
(7.1.33)
б) Условная вероятность
Начальное условие определяет F; принимая f = 0, имеем
Р(х, 0\N, 0) = 5x,n . (7.1.34)
Это означает, что
G(s, 0) = sN = F(s — 1) ехр f(j — \)k2ajkx] , (7.1.35)
так что
(7.1.36)
Разложив полученное выражение в ряд по степеням s, получим
Р(х, f\N,0) = ехр
кга
к7
?i{N-r)\r\(x-rjlUi
(7.1.37)
x (1 — e-*i,yv+)?-2''e~'tl,r.
Этот очень сложный ответ дает полное решение задачи, но его практическая полезность невелика. За основу для вычислений удобнее брать производящую функцию (7.1.36) или уравнения для средних значений.
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 297
Используя производящую функцию, мы можем вычислить
<*(0>
dsG(s = I, 0 = 7^(1 - е-**') + Ntt-*'1
(x(t)[x(t) - 1]> = d}G(s = 1,0 = <*('»2 - ЛГе-»1‘ D {jc(0} - 1 ^
(7.1.38)
(7.1.39)
(7.1.40)
в) Уравнения для моментов
Из дифференциального уравнения (7.1.28) получаем
3,[3;C(j, /)] = {п[к2адТ1 - Аг.Эг] + (s - 1)[А:2ад° - МГЧ} G(s, t). (7.1.41)
Подставляя s — 1 и используя равенство
ЭДм)и, = <*(/)">,, (7.1.42)
находим
(7.1.43)
Эти уравнения образуют замкнутую иерархию. Естественно, решения для среднего значения и дисперсии соответствуют равенствам (7.1.38, 40).
г) Автокорреляционная функция и стационарное распределение Когда t — оо для любой функции F, мы находим из (7.1.32, 33)
G(s, t — оо) = ехр [ (.? — \)k2ajkl] , (7.1.44)
что соответствует распределению Пуассона
Ps(x) =ехр (— k2a/kt) (k2a/kiY/x\. (7.1.45)
Поскольку уравнение, описывающее эволюцию <х(ф во времени, линейно, мы можем применить методы раздела 3.7.4, а именно теорему регрессии, которая устанавливает, что стационарная автокорреляционная функция зависит от времени так же, как среднее значение, а ее значение при t = 0 равно стационарной дисперсии. Отсюда
(7.1.46)
(7.1.47)
(7.1.48)
<*(/)>» = k2ajkx
D {*(0К = кга!кх
<*(/), х(0)Х = e~kl'k2ajk, .
298 Глав:: 7
Стационарное решение в виде распределения Пуассона также следует из (7.1.13) путем прямой подстановки.
д) Решения в виде распределения Пуассона, зависящего от времени
Очень интересным свойством этого уравнения является существование решений, представляющих собой распределения Пуассона, зависящие от времени. Действительно, если взять
Мы видим, что а (0 здесь является решением детерминистического
уравнения
Этот результат может быть обобщен на случай многих переменных и составляет основу представления Пуассона, которое будет развито в разд. 7.7. Существование решений в виде распространяющегося распределения Пуассона является следствием линейности системы.
7.1.3. ХИМИЧЕСКАЯ БИСТАБИЛЬНАЯ СИСТЕМА Рассмотрим систему
(7.1.49)
то
G(s, 0) = ехр [(j — 1)«о] ,
и из (7.1.32) находим
G(s, /) ••* ехр [(j — lXaroe'*1' + к2а/кх)\ ,
(7.1.50)
(7.1.51)
чему соответствует
(7.1.52)
где
a(t) = aaz~kl' + k1ajkl
(7.1.53)
(7.1.54)
с начальным условием х (0) = а0 .
(7.1.55)
А +2Х^ЗХ
(7.1.56)
(7.1.57)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 299
которая изучалась многими авторами [7.1]. Концентрация вещества А поддерживается постоянной, так что
?+(х) = к)Ах(х — 1) + к3А
(7.1.58)
t (х) = кгх(х — 1) (х — 2) + kiX.
Соответствующим детерминистическим уравнением является, разумеется,
= “ Г^
ш (7.1.59)
= —к2х3 + кгАх2 — к4х + к3А ,
где мы считаем х достаточно большим, чтобы иметь право записать х(рс — 1)(хг — 2) — х3 и т. п. Решение этого уравнения с начальным условием х (0) = х0 имеет вид
