Наблюдаемость электроэнергетических систем - Гамм А.З.
ISBN 5-02-006643-5
Скачать (прямая ссылка):
5.9. КРИТЕРИЙ НАИБОЛЬШЕЙ ВЕРОЯТНОСТИ ОБНАРУЖЕНИЯ ПЛОХИХ ДАННЫХ
Выше отмечалось, что при оценивании состояния делается предположение относительно ошибок измерений Ъу - V — К(х) , заключающееся в том, что ошибки независимы, имеют нулевые средние дисперсии Ry = -E (ЪуЪу) и подчиняются нормальному закону распределения.
Ввиду того что Ry входит в выражения для оценок точности оценок параметров состояния Px и измеренных параметров Pу, ошибочность наших предположений о \у может повлиять на точность получаемых оценок. Поэтому может оказаться желательным оценить величину Rv по результатам измерений. Такая оценка позволит, с одной стороны, выявить плохие [1] данные, для которых Ъу не соответствует принятым нами предположениям; с другой стороны, возникает необходимость в проектировании такой системы измерений, для которой наличие плохих данных не оказывает существенного влияния иа точность получаемых оценок.
В работе [22] показано, какой вид имеет критерий оценивания при отсутствии и наличии плохих данных. Пусть X = х, тогда
?>(*)=[ V- у (X)] rR ~v [ V - Г(х)\ = TrRy1 г. (5.47)
Запишем вектор остатков г :
r~ T- V(x)- V- V(x)- V(X)+ \%х)=Ъу+г. (5.48)
Подставим (5.41) в (5.48)
г= (lm -HPxHtR^) Ъу = (lm -YvKfay = W Ъу. (5.49)
Выражение в скобках [22] иосит название матрицы чувствительности остатков, это симметричная идемпотеитная матрица размера (тХ т).
Ковариационная матрица остатков имеет вид [22]
E(Trt) =Rv -H1PvHt =YiRv = Yi*. (5.50)
Диагональные элементы W* являются оценкой того, насколько верно задана матрица R у.
Так как при увеличении числа измерений диагональные элементы матрицы HPyH1, соответствующие добавляемым измерениям, уменьшаются, то диагональные элементы матрицы W* увеличиваются.
Ошибки /-го измерения не сказываются на ошибках остатков в г-м измерении, если //-й элемент матрицы W равеи нулю.
Анализ матрицы чувствительности, как отмечалось выше, показывает, что влияние отдельного плохого данного распространяется в области размещения соответствующего измерительного прибора и не размазывается по всей сети, размер этой области зависит, с одной стороны, от топологии схемы сети, а, с другой - от локальной избыточности измерений. Распространение ошибок измерений ограничено, если матрица W блочно-диагональная.
Для базисной системы измерений выражения (5.49), (5.50) лишены смысла, так как в этом случае
(Im -HPxHrRy1)= [lm -HqPR-irlft'IFRy]= 0.
Таким образом, для того чтобы диагональные элементы матрицы W *бы-ли отличны от нуля, необходимо наличие локальной избыточности измерений, число таких избыточных измерений зависит от топологии схемы сети.
Подставляя выражение (5.49) в (5.50) и учитывая, что Wt/?“уW = = i?-^ W ,получаем [22]
VJ(X)= ФуУРИГ'уЩу= ЦуКрЩу. (5.51)
При предположении о нормальности распределения Z у функция ??(*) имеет распределение х2 с v = т — п степенями свободы (т — число измерений, а п — число параметров состояния), с математическим ожиданием и дисперсией соответственно равными E Mi*)] = Vt иаг [<?(?)] = Iv.
Если число степеней сводобы больше чем 30, то <?>(х) стремится к нормальному распределению.
Нормализованное значение функции <#(х) равно [22]
Tl = M*) - v)l VrS^ (5.5 2)
ті имеет нормальное распределение N [0,1].
Покажем, какой вид имеет функция у (х) и нормализованная форма т t для случая, когда имеются плохие данные. Если вектор измерений V содержит единичное плохое измерение, то вектор шумов измерений в этом случае может быть записан так [22] :
Zy = Zv+eP* (5.53)
где Zv ~ вектор малых случайных ошибок, имеющий нормальное распределение; вектор et содержит только г-ю, отличную от нуля компоненту; а — характеристика плохого данного.
Подстановка выражения (5.53) в (5.51) дает
ф Ф) = z$ КГІЩу + 2WtiRfiNZv + a2eiR~v Щ. (5.54)
Первый член имеет распределение х2> второй — нормальное распределение, а третий является константой. При числе степеней свободы больше чем 30, функция (5.54) имеет нормальное распределение с математическим ожида-
137
ниєм и дисперсией равными [22] /V = V + (OL(Oi)2 W,7,
оJ =2^ +4(а/Oi)2 Щ,
(5.55)
(5.56)
где Of — стандартное отклонение для z'-го измерения.
Нормализованное значение ^(х) в этом случае может быть записано в таком виде:
Задавая различные значения а, по (5.57) можно построить нормализованную функцию распределения (5.54) и на ее основе определить влияние выбранного избыточного состава измерений на вероятность обнаружения плохих данных.
Критерий вероятности обнаружения плохих данных и критерий наилучшей обусловленности взаимосвязаны. Действительно, при худшей обусловленности нормальной системы уравнений увеличивается разность измеряемых и вычисленных значений параметров режима, причем ие только вблизи грубого измерения, HO и в некоторой его окрестности, что уменьшает вероятность обнаружения плохих данных. Улучшение же обусловленности локализует большие разности, увеличивая тем самым вероятность обнаружения.
Глава 6
є -НАБЛЮДАЕМОСТЬ И е -ЭКВИВАЛЕНТИРОВАНИЕ
