Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гамм А.З. -> "Наблюдаемость электроэнергетических систем" -> 54

Наблюдаемость электроэнергетических систем - Гамм А.З.

Гамм А.З., Голуб И.И. Наблюдаемость электроэнергетических систем — М.: Наука, 1990. — 200 c.
ISBN 5-02-006643-5
Скачать (прямая ссылка): nabludaemostenergosistem1990.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 82 >> Следующая


= Ь{Н0 ¦ (5.20)

Тогда разложение строк H1 по строкам H0 имеет вид

H1=B0B0. (5.21)

Все строки матрицы B0, кроме г-й строки, имеют единственный ненулевой элемент (диагональный), равный единице. Поэтому определитель матрицы разложения B0 равен bti, где Ьц — диагональный элемент, соответствующий г-й строке. Из выражения detA = detB-detC, где A =BC, вытекает, что

detffi = IfydetH0. (5.22)

Следовательно, для перехода к новому базису с большим значением определителя необходимо потребовать выполнения условия

\Ъц\> 1. (5.23)

Пусть теперь Hh3Q0 = ЭКизбо/Ъх — построчно нормированная матрица измерений — претендентов на ввод в базис и стоит задача иайти сочетание заменяемых измерений, при котором максимально улучшается определитель базисной матрицы. Запишем разложение строк матрицы Hизб о по строкам H0:

Hm6o=CH0, (5.24)

здесь С — матрица коэффициентов разложения. Индексы максимального коэффициента разложения Qj соответствуют измерениям, которые следует заменить для максимизации определителя базисной матрицы, а именно, /-ю строку матрицы H0 следует заменить i-й строкой матрицы Hk3Q0. В результате такой замены получим

det#! = CfjdetH0. (5.25)

Процесс выбора оптимального базиса считается законченным, как только максимальный коэффициент разложения станет меньше единицы.

Для того чтобы на каждом шаге к смены базиса (А: = 0, 1, •••) не решать систему (5.24), в [6] разработан алгоритм коррекции матрицы

Cfc^HmQtIcfffi . (5.26)

127
Согласно этому алгоритму, ищется разложение матрицы по новому базису:

Oc + 1 ~ #изб,&+1 #fc + l - ^ изб, fc+1 -

= Hm6tktlHk-' Bk' = ( h^'*) HklBk-' = [С* )?'1 , (5.27)

где #изб, к — подматрица матрицы Hm6 lc, в которой сохранились те же строки при переходе к //изб,к + і hj - вновь введенная строка; CV — разложение матрицы #и'зб, к по базису Hk; Cj — разложение строки hj по базису Я*.

Очевидно, что Cj имеет единицу в /-й позиции, а остальные - нули. Перестановкой строк и столбцов обратной матрицы Rk1 можно получить

Bkx = ( 1 ° ) = ( К iV (5.28)

\d Ъц) \ M NI V

где

d-(Pa, bi2,bt„);

K=(I-0-bfi1 -d)=I;

L= K.Q . Ьн = 0;

M = -Ьи1 ¦ d ¦ I = Ь:

(-Ir

bn

N= Ъц1 — Ьц1 dL= Ьц1. Итак,

8‘=(1 У- (529)

Делая столбец Ci', соответствующий исключаемой из Hk строке Hi , и і-й элемент строки Cj последними, можно записать формулу коррекции элементов матрицы коэффициентов разложения на итерациях смены базиса:

„ QW/ 0 \ ( Ck"+ QM QbH \

4 + 1 \ О I / IM ЬїіЧ \ M Ь~и )

30)

Основным ограничением к применению такого быстродействующего алгоритма коррекции является требование большого объема памяти, необходимого для хранения ненулевых элементов матрицы разложения.

Из-за недостатка требуемой оперативной памяти в [20] было предложено производить повторный пересчет элементов матрицы на каждой

128
итерации смены базиса, используя для решения системы уравнений

t-ij, к Hk ~ Hfa3Q k (5.31)

с 1-ми правыми частями, соответствующими вектор-строкам матрицы ^изб, к > метод ортогонализации Грама—Шмндта [18]. Согласно этому методу, решение относительно Cij к может быть записано так:

= Vpt)-

откуда

с„, * = (К,-* ¦ Лік°от)І Щк ¦ HiFr),

где Hj к и HjyJl1 — /-е строки базисной и ортонормированной базисной матриц на /г-й итерации смеиы базиса, в скобках записаны скалярные произведения, значение Rjk можно вычислить по формулам

Hj Ji3Qj к >

Rjk -Rj+I, к - <4/ + 1 ,к Hj+ ki к-

Однако такой повторный пересчет матрицы коэффициентов на каждой итерации смеиы базиса требует, особенно для схем большой размерности, много машинного времени.

Ускорение вычислений может быть достигнуто использованием для получения коэффициентов Cij треугольного разложения Холецкого [56]

и коррекции этого разложения на итерациях смены базиса. Поскольку метод Холецкого, как правило, используется для решения систем линейных уравнений с симметричными матрицами, перепишем систему (5.31), опуская индекс итерации к, в внде

H1HZ=Hi1a36, (5.32)

Ci] = HZ. (5.33)

Применяя к (5.32) разложение Холецкого, можно записать [56]

HrHZ= UrDUZ=VrDD-lY= Hi^6 , (5.34)

где D- диагональная матрица, a U—верхняя треугольная матрица с единицами иа диагонали.

Решение (5.34) сводится к решению двух систем уравнений:

UtY= Httm6, (5.35)

UZ = IT1Y. (5.36)

Подставляя значения элементовBeKTopaZ из (5.36) в (5.33),находим искомые значения коэффициентов су. Существенное сокращение времени вычисления коэффициентов Cq достигается заменой повторного разложения (5.34) коррекцией этого разложения, в процессе которой вначале осуществляется добавление в базисную матрицу i-й строки избыточной матрицы, а затем исключение /-й строки базисной матрицы, соответствующих максимальному значению коэффициента разложения.
Алгоритмы коррекции треугольного разложения Холецкого изложены в работе [69], остановимся только иа их основных этапах.

Пусть P0 = HtH - исходная матрица, а Pt = P0 + hT h иРІ = P0 - h Th -матрицы, образованные после добавления и исключения избыточного измерения. Используя формулы разложения Холецкого, запишем эти матрицы в виде
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed