Наблюдаемость электроэнергетических систем - Гамм А.З.
ISBN 5-02-006643-5
Скачать (прямая ссылка):
* Напомним, что сингулярным числом матрицы В (т х и) называется число.являю-щееся диагональным элементом матрицы S, определяемым как USV - В [63], где U и V - ортогональные матрицы. Отсюда, в частности, следует, что произведение S1S-A, где Л диагональная матрица собственных чисел матрицы А -= ВТВ.
119
плоскостями, параллельными OxіX2, получают семейство эллипсов, центры рассеяния которых лежат в точке х. Во всех точках каждого эллипса плотность распределения постоянна. Направление осей эллипса зависит от кор-релированности Xi и Xi. Если оценки не коррелированы, оси эллипса параллельны осям координат, в противном случае они составляют с осями некоторый ненулевой угол.
Наибольший интерес в нашем случае представляет эллипс, который отсекает на осях X1 и X2 отрезки, равные среднеквадратичным отклонениям оценок ох и ох . Направление осей эллипса определяется собственными векторами, связанными с собственными значениями. Число обусловленности ковариационной матрицы (HtRyiH)-1 показывает, во сколько раз сжат характеристический эллипс в одном направлении и вытянут в другом. При равенстве 1/Хх = IA2 эллипс становится окружностью.
Число обусловленности матрицы (H7RyIf) при X1 = X2 минимально, а следовательно, степень влияния погрешностей измерений на точность решения уравнений (5.2) также минимальна. Это соответствует максимальной наблюдаемости.
Таким образом, точность определения компонент вектора состояния и в случае избыточной системы измерений зависит от структуры и значений элементов матрицы коэффициентов линейной системы уравнений (5.9). Очевидно, что критерии оптимизации состава измерений, способствующие повышению точности оценок, должны определять некоторые желаемые свойства базисной матрицы H или нормальной матрицы HrRyH, которая в математической статистике называется информационной матрицей Фишера [65].
В работе [65] показано, что наилучшую обусловленность матрицы Irx , или, что то же самое, минимальные дисперсии оценок состояния х, будет при заданной матрице R у обеспечивать такая матрица H, столбцы которой взаимно ортогональны. Пусть hjR^-h, = с} , і = 1, ..., т, где h{ — г-й вектор-столбец матрицы Н. Положим / = 1, тогда матрица H будет иметь вид# = (IilH2), а матрица?*1:
где h\Rvl H2 и H2Rjh і — вектор-строка и вектор-столбец, обозначим их Г И/.
Из (5.11) можно записать
5.2. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ
(5.11)
= (/!ЇЯ“‘/1,)^1(?1^1 Я2) _ /7= = det(HlR-JH1)(hlR-Jh, -Г(HlRy1H1)-'Г),
(5.12)
откуда первый диагональный элемент матрицы Px:
det (HlRyiH1) 1
Дисперсия оценки а2х будет минимальной и равной Ijc2, если h\hj = О, / = 2, п. В самом деле, при этом Jit1RyH2 = /т = O,/1 (H2Ry H2)'1 f = О, т.е. столбец H1 ортогонален к остальным столбцам, когда H1 коллинеарен подпространству, натянутому иа вектора H2, выражение H1Ryh1 —
— f1 (H2Ry H2Y1 f = 0, а дисперсия равна бесконечности.
Ортогональной матрице Я соответствует диагональная матрица H7Ry1H, диагональные элементы которой суть собственные числа. Оси эллипсоида рассеяния будут параллельны осям системы координат, а оценки параметров состояния независимы друг от друга. Максимальную погрешность будут иметь оценки компонент вектора состояния, которым соответствует минимальное собственное значение матрицы P*1.
Если Ry = I, то, дпя того чтобы погрешности оценок были минимальны и равны между собой, столбцы матрицы H должны быть ортонормированы, т.е. ортогональны н промасштабироваиы до модуля единицы. При Rv = = о,1, і = 1, ..., w должны быть ортонормированы столбцы матрицы Ry hH. Для базисной матрицы H максимальная точность оценок будет достигнута при взаимной ортонормированности ее строк или столбцов.
Признаком парной ортонормированности вектор-столбцов матрицы H или RyifiH являются нулевые значения недиагональных элементов информационной матрицы, полученной после нормирования столбцов Д RCyflH. Если столбцы коллинеарны, то элемент матрицы,соответствующий их скалярному произведению, равен единице. Одиако этот критерий является более слабым, чем критерий (5.13), так как не гарантирует наблюдаемости.
5.3. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
Определитель матрицы H или информационной матрицы HrRy H также может выступать в качестве количественного показателя качества наблюдаемости, поскольку при стремлении хотя бы одного из собственных чисел соответствующей матрицы к иулю определитель det (H1RyH) =
п
= ПХ,- тоже стремится к нулю. Геометрически можно интерпретировать
1-І
величину определителя через объем параллелепипеда, построенного на полуосях эллипсов, равных собственным значениям матрицы P*1 и совпадающих по направлению с собственными векторами, связанными с этими собственными значениями. Для ненормированной матрицы определитель не может использоваться в качестве меры наблюдаемости. Действительно, если для двумерного случая длину меньшей полуоси уменьшить в к раз, а большей — увеличить в к раз, то площадь не изменится. He изменится при этом и определитель. В то же время форма эллипса изменится, он становится более сжатым [66].
