Наблюдаемость электроэнергетических систем - Гамм А.З.
ISBN 5-02-006643-5
Скачать (прямая ссылка):
— = О,
Эйз Эц) Эх 9w
r=rr=2wIWr$W = 0- (4'7)
of Эх Э? Эх
Будем считать, что выбраиа такая кривая (4.7), которая не проходит через другие корнн, кроме Xi и X2- Тогда внутри интервала О < t < 1 H1(X)TtO. Рассмотрим три возможных ситуации, при которых удовлетворяется (4.7).
1. Цх/^иі/Зх) = 0, т.е. градиент <р(х) равен нулю. Так как и>(х) =?0, то это означает, что вектор w(x) ортогонален всем столбцам матрицы Эи’/Эх.
IЭ W I
Ho если det I— TtO1 то столбцы матрицы Эи’/Эх образуют базис прост -
I Э* I
ранства размерности п (число компонент вектора х), и, следовательно, любой ненулевой вектор этой размерности, в том числе и w(x), может быть выражен в виде линейной комбинации столбцов Эи’/Эх. Поэтому произведение и»(х)т (Эи’/Эх) Ф 0 внутри интервала, если det (Эи’/Эх) Ф 0. Отсюда следует, что для того, чтобы и>(х)т (Эи’/Эх) = 0, необходимо чтобы det (Эи’/Эх) = 0, т.е. столбцы матрицы Эи’/Эх не образовывали базис.
2. (Эи’/Эх) Ф(х) = 0. Ситуация аналогичная, так как н ненулевой вектор Ф(х) может быть представлен линейной комбинацией столбцов Эи’/Эх при det (Эи’/Эх) Ф 0. Поэтому и эта ситуация возможна лишь при det (Эи’/Эх) = 0.
3. wT (х) (dw/dx) и Ф(х), т.е. градиент функции <р(х) и направляющий вектор кривой Ф(х) ортогональны. Эту ситуацию всегда можно исклю-
117
I
чить, выбирая кривую с помощью Ф(х) так, чтобы Ъф
— Ф (X) Ф 0. (4.8)
Эх '
Следовательно, на любой кривой, проходящей из одного корня к другому и удовлетворяющей условию (4.8), существует точка, в которой det (9w/9x) = 0.
Если выбран такой состав измерений, что определитель никогда не обращается в нуль, то н решение единственно, так как всегда можно найти кривую, удовлетворяющую условию (4.8) и проходящую от одного корня к другому внутри допустимой области, если эта область односвязна. Этот вывод согласуется с результатами работы [62], полученными для традиционных уравнений установившегося режима, но не требует содержащегося там условия выпуклости области, где определитель отличен от нуля.
Глава 5
КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА КАЧЕСТВА НАБЛЮДАЕМОСТИ
Условие алгебраической наблюдаемости
rank (9 V/дх) = п (5.1)
гарантирует наблюдаемость ЭЭС — возможность определения нз системы линеаризованных уравнений (3.4) всех элементов вектора состояния — однако оно не дает ответа на вопрос, насколько хорошо наблюдаема ЭЭС. Целью данной главы является определение количественных показателей качества наблюдаемости, зависящего от точности вычисления параметров режима. Эта точность считается удовлетворительной, если она сопоставима с точностью измерений, и не удовлетворительной в противном случае. Знание показателей наблюдаемости важно для построения надежных алгоритмов оценивания состояния и для синтеза систем сбора данных.
5.1. ЧИСЛО ОБУСЛОВЛЕННОСТИ
Исходные данные V преобразуются в оценки вектора состояния итерационно, на каждой итерации ’’работает” линейное преобразование
Ах=А'1Ъ, (5.2)
где
А = [(Э VIbXfRдПдх], (5.3)
b = (dV!dxfR-1(V-V(xk_l)), (5.4)
X/i-i — оценки на (к—1) -й итерации,
AX=Xk-Xjt^1..
Итерации идут, пока |Дх| <бх, где б* — заданная точность расчета. Ошиб-118
ки в измерениях %у приводят к ошибкам в векторе состояния ех:
Cx=A-1CdVZdxf RrHr =A-1 Ь, (5.5)
где
Ь = (Ъ V/dxf Ry1^r (5.6)
— ошибка вектора свободных членов.
Формулы (5.5) и (5.6) устанавливают связь между погрешностью исходных данных и погрешностью оценок вектора х. При заданной норме погрешности исходных данных норма погрешности результатаопределяетсятолько свойствами соответствующей матрицы преобразования, в данном случае матрипы
Г/ЭК\Т , 9КГ73ПТ ,
*’Ifc) ^tJ (57)
которая, в свою очередь, зависит от свойств матрицы bV/Ъх и Ry.
Известно, что верхнюю оценку нормы относительной погрешности результата можно получить на основе числа обусловленности матрицы, если линейное преобразование невырожденное. Для вырожденного преобразования, какое часто имеет место в нашем случае,аналогичныеоценки дает отношение модуля максимального сингулярного числа матрицы дУ/дх к минимальному h - || Smax l!/i|smmllT откуда
Il ех |i/|| Ax Il < h Hvmv-Vl (5.8)
Дисперсия оценок параметров состояния определяется диагональными элементами ковариационной матрицы Px:
E(exel)= (HxRy1H)-1 = Px, где H= Э Vjbx. (5.9)
В качестве обобщенной величины, характеризующей все дисперсии, может выступать сумма диагональных элементов — след матрицы:
І O2x =K(HtR-1H)-1 , (5.10)
1=1 Z=I\
где \ - собственные значения матрицы Px1. Прн Xmin 0 Г о\.
1=1 '
Известна [64] простая геометрическая интерпретация свойств оценок х = (xi, ..., х„), являющихся случайными величинами с нормальным законом распределения. В предположении выполнения условия несмещенности оценок математические ожидания оценок равны истинным значениям оцениваемых параметров (для двумерного случая может быть записано F(X1)=X1, E(X2) - х2). На плоскости OX1X2 точка х с координатами X1 и X2 представляет собой проекцию вершины поверхности нормального распределения случайных величинхь X2. В сеченин поверхности распределения
